Parámetros en funciones: Tangente, Continuidad y Derivabilidad

**a) [1 punto] Sea la función $f(x) = ax^3 - 2x^2 - x + b$ con $a, b \in \mathbb{R}$. Determina razonadamente los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de la función pase por el punto $(1, 2)$ y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 1.** Si la gráfica de la función pasa por el punto $(1, 2)$, se debe cumplir que $f(1) = 2$. Sustituimos $x=1$ en la expresión de la función: $$f(1) = a(1)^3 - 2(1)^2 - (1) + b = 2$$ $$a - 2 - 1 + b = 2$$ $$a + b - 3 = 2$$ $$a + b = 5$$ 💡 **Tip:** Cuando un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica de una función, la condición matemática es siempre $f(x_0) = y_0$.

La pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $x=1$ viene dada por el valor de la derivada en dicho punto, es decir, $f'(1) = 1$. Primero, calculamos la derivada genérica de $f(x) = ax^3 - 2x^2 - x + b$: $$f'(x) = 3ax^2 - 4x - 1$$ Ahora, imponemos que en $x=1$ la pendiente sea $1$: $$f'(1) = 3a(1)^2 - 4(1) - 1 = 1$$ $$3a - 4 - 1 = 1$$ $$3a - 5 = 1$$ $$3a = 6 \implies a = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada evaluada en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto ($m = f'(x_0)$).

Una vez hallado el valor de $a = 2$, volvemos a la ecuación obtenida en el primer paso para despejar $b$: $$a + b = 5$$ $$2 + b = 5 \implies b = 3$$ Por tanto, los valores buscados para el apartado a) son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, \quad b = 3}$$

**b) [1,5 puntos] Sea la función $f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 1 & x < 0 \\ be^x & x \ge 0 \end{cases}$, con $a, b \in \mathbb{R}$. Determina razonadamente los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x = 0$.** Para que la función sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. Límite por la izquierda ($x \to 0^-$): $$\lim_{x \to 0^-} (x^2 - ax + 1) = 0^2 - a(0) + 1 = 1$$ 2. Límite por la derecha y valor de la función ($x \to 0^+$): $$\lim_{x \to 0^+} (be^x) = f(0) = be^0 = b \cdot 1 = b$$ Para que exista continuidad: $$1 = b \implies b = 1$$ 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable, primero **debe ser obligatoriamente continua**. Por ello, siempre empezamos calculando la continuidad.

Una vez asegurada la continuidad con $b=1$, estudiamos la derivabilidad. La función es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ por ser composición de polinomios y exponenciales. Derivamos las ramas para $x \neq 0$: $$f'(x) = \begin{cases} 2x - a & \text{si } x \lt 0 \\ be^x & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben coincidir: 1. Derivada por la izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (2x - a) = 2(0) - a = -a$$ 2. Derivada por la derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (be^x) = be^0 = b$$ Igualamos las derivadas laterales: $$-a = b$$ Como ya sabíamos que $b = 1$: $$-a = 1 \implies a = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -1, \quad b = 1}$$