Volumen de un tetraedro y elementos geométricos en el espacio

**- [1,25 puntos] Calcula razonadamente el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $D$.** Para calcular el volumen de un tetraedro, necesitamos tres vectores que partan de un mismo vértice. Tomaremos el punto $A$ como origen común y calcularemos los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AD}$ restando las coordenadas de sus extremos: - $\vec{AB} = B - A = (2 - 0, 1 - 0, 0 - 1) = (2, 1, -1)$ - $\vec{AC} = C - A = (1 - 0, 1 - 0, 1 - 1) = (1, 1, 0)$ - $\vec{AD} = D - A = (1 - 0, 1 - 0, 2 - 1) = (1, 1, 1)$ 💡 **Tip:** El volumen de un tetraedro es la sexta parte del volumen del paralelepípedo definido por estos tres vectores, lo cual se calcula mediante el producto mixto.

El volumen viene dado por la fórmula $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$. Calculamos primero el determinante del producto mixto: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$= (2 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot (-1)) - [(-1) \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \cdot 1]$$ $$= (2 + 0 - 1) - (-1 + 0 + 1) = 1 - 0 = 1$$ Sustituimos en la fórmula del volumen: $$V = \frac{1}{6} |1| = \frac{1}{6} \text{ unidades}^3$$ ✅ **Resultado (volumen):** $$\boxed{V = \frac{1}{6} \text{ u}^3}$$

**- [1,25 punto] Calcula razonadamente la ecuación del plano que pasa por los puntos $A, B$ y $C$, y la de la recta perpendicular a este plano y que pasa por el punto $D$.** Para hallar el plano $\pi$ que pasa por $A, B$ y $C$, necesitamos un punto (por ejemplo, $A(0,0,1)$) y un vector normal $\vec{n_{\pi}}$. El vector normal se obtiene mediante el producto vectorial de dos vectores contenidos en el plano, como $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$: $$\vec{n_{\pi}} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{n_{\pi}} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n_{\pi}} = \vec{i}(0 + 1) - \vec{j}(0 + 1) + \vec{k}(2 - 1) = (1, -1, 1)$$ La ecuación general del plano es del tipo $x - y + z + D = 0$. Imponemos que pase por $A(0,0,1)$: $$0 - 0 + 1 + D = 0 \implies D = -1$$ ✅ **Resultado (plano):** $$\boxed{\pi: x - y + z - 1 = 0}$$

La recta $r$ es perpendicular al plano $\pi$, lo que significa que su vector director $\vec{v_r}$ coincide con el vector normal del plano $\vec{n_{\pi}} = (1, -1, 1)$. Dado que la recta debe pasar por el punto $D(1, 1, 2)$, sus ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ Si la expresamos en forma continua: $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector normal del plano sirve como vector director de la recta. ✅ **Resultado (recta):** $$\boxed{r: x-1 = \frac{y-1}{-1} = z-2}$$