Distancia de punto a recta y paralelismo entre rectas

**a) [1,25 puntos] Sea el punto $P(1, 0, 1)$ y la recta $r \equiv \frac{x+1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1}$. Calcula razonadamente la distancia del punto $P$ a la recta $r$.** Para calcular la distancia de un punto a una recta, primero extraemos un punto $A_r$ de la recta y su vector director $\vec{v}_r$ de la ecuación continua: - Punto de la recta: $A_r(-1, 0, 1)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (1, 1, -1)$ El punto exterior es $P(1, 0, 1)$. Definimos el vector $\vec{A_rP}$ que une un punto de la recta con el punto $P$: $$\vec{A_rP} = P - A_r = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 1) = (2, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

La fórmula de la distancia de un punto $P$ a una recta $r$ viene dada por: $$d(P, r) = \frac{|\vec{v}_r \times \vec{A_rP}|}{|\vec{v}_r|}$$ Calculamos primero el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{A_rP}$ mediante un determinante: $$\vec{v}_r \times \vec{A_rP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r \times \vec{A_rP} = (1\cdot 0 \cdot \vec{i} + (-1)\cdot 2 \cdot \vec{j} + 1\cdot 0 \cdot \vec{k}) - (2\cdot 1 \cdot \vec{k} + 0\cdot (-1) \cdot \vec{i} + 0\cdot 1 \cdot \vec{j})$$ $$\vec{v}_r \times \vec{A_rP} = (0, -2, 0) - (0, 0, 2) = (0, -2, -2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial genera un vector perpendicular a ambos vectores originales. Su módulo representa el área del paralelogramo formado por ellos.

Calculamos ahora los módulos necesarios: - Módulo del producto vectorial: $$|\vec{v}_r \times \vec{A_rP}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ - Módulo del vector director de la recta: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$ Sustituimos en la fórmula de la distancia: $$d(P, r) = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, r) = \frac{2\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}}$$

**b) [1,25 puntos] Sean las rectas $s \equiv \begin{cases} x = 0 + 2\lambda \\ y = 1 - 2 \cdot a \cdot \lambda \\ z = 0 + 2\lambda \end{cases}$ y $t \equiv \frac{x-1}{a} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{1}$. Calcula razonadamente el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que las dos rectas sean paralelas.** Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales y no tienen puntos en común (o son la misma recta si son coincidentes). Obtenemos los vectores directores: - De la recta $s$ (parámetros de $\lambda$): $\vec{v}_s = (2, -2a, 2)$ - De la recta $t$ (denominadores): $\vec{v}_t = (a, -1, 1)$ 💡 **Tip:** Para que dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ sean paralelos, debe existir un $k \neq 0$ tal que $\vec{u} = k\vec{v}$, lo que implica que sus coordenadas deben ser proporcionales.

Establecemos la relación de proporcionalidad entre las componentes de $\vec{v}_s$ y $\vec{v}_t$: $$\frac{2}{a} = \frac{-2a}{-1} = \frac{2}{1}$$ De la igualdad de la primera y tercera fracción: $$\frac{2}{a} = 2 \implies 2 = 2a \implies a = 1$$ Comprobamos si este valor de $a$ cumple la segunda igualdad: $$\text{Para } a=1 \implies \frac{-2(1)}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2$$ Como $2=2=2$, los vectores son proporcionales para $a=1$. 💡 **Tip:** Si al resolver para una componente el valor no satisface las otras igualdades, entonces no existe ningún valor de $a$ que haga las rectas paralelas.

Para $a=1$, los vectores son paralelos. Debemos verificar si son rectas distintas o coincidentes. Tomamos un punto de $s$: $P_s(0, 1, 0)$. Comprobamos si pertenece a $t$ sustituyendo en su ecuación con $a=1$: $$t \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{1}$$ Sustituimos $P_s$: $$\frac{0-1}{1} = \frac{1+1}{-1} = \frac{0-2}{1}$$ $$-1 = -2 = -2$$ Como $-1 \neq -2$, el punto $P_s$ no pertenece a $t$, por lo que las rectas son **paralelas no coincidentes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$