Integrales indefinidas: cambio de variable y descomposición

**a) [1,25 punto] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int \frac{2}{3 + e^x} dx$.** Comenzamos aplicando el cambio de variable sugerido $e^x = t$. Para ello, debemos calcular también el diferencial de $x$ ($dx$): $$e^x = t \implies x = \ln(t) \implies dx = \frac{1}{t} dt$$ Sustituimos estas expresiones en la integral original: $$I = \int \frac{2}{3 + t} \cdot \frac{1}{t} dt = \int \frac{2}{t(t + 3)} dt$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al realizar un cambio de variable $u = g(x)$, no debes olvidar sustituir el diferencial $dx = g'(x)^{-1} du$.

La integral resultante es una integral racional. Descomponemos el integrando en fracciones simples: $$\frac{2}{t(t + 3)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t + 3}$$ Multiplicando por el denominador común $t(t+3)$: $$2 = A(t + 3) + Bt$$ Calculamos los coeficientes $A$ y $B$ dando valores a $t$: - Si $t = 0$: $2 = A(0 + 3) \implies A = \frac{2}{3}$. - Si $t = -3$: $2 = B(-3) \implies B = -\frac{2}{3}$. Por lo tanto, la integral se convierte en: $$I = \int \left( \frac{2/3}{t} - \frac{2/3}{t + 3} \right) dt = \frac{2}{3} \int \frac{1}{t} dt - \frac{2}{3} \int \frac{1}{t + 3} dt$$ $$\boxed{I = \frac{2}{3} \ln|t| - \frac{2}{3} \ln|t + 3| + C}$$

Finalmente, sustituimos $t = e^x$ para obtener el resultado en términos de la variable original $x$: $$I = \frac{2}{3} \ln|e^x| - \frac{2}{3} \ln|e^x + 3| + C$$ Como $\ln(e^x) = x$ y $e^x + 3$ siempre es positivo, podemos simplificar la expresión: ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{I = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} \ln(e^x + 3) + C}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int \frac{-x + 1}{x^2 + 3} dx$.** En este caso, tenemos una integral donde el numerador es un polinomio de primer grado y el denominador de segundo grado sin raíces reales. Separamos la integral en dos sumandos para obtener una de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente: $$J = \int \frac{-x}{x^2 + 3} dx + \int \frac{1}{x^2 + 3} dx$$ Llamaremos $J_1$ a la primera parte y $J_2$ a la segunda. 💡 **Tip:** Dividir una integral con numerador $ax+b$ en dos partes (una proporcional a la derivada del denominador y otra constante) es la técnica estándar para resolver integrales racionales con denominador de segundo grado sin raíces.

Para la primera integral $J_1 = \int \frac{-x}{x^2 + 3} dx$, buscamos que el numerador sea la derivada del denominador, que es $(x^2 + 3)' = 2x$: $$J_1 = -\frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 3} dx$$ Aplicamos la fórmula $\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln|f(x)|$: $$J_1 = -\frac{1}{2} \ln(x^2 + 3)$$ (No ponemos valor absoluto porque $x^2 + 3 > 0$ siempre).

Para la segunda integral $J_2 = \int \frac{1}{x^2 + 3} dx$, usamos la fórmula inmediata $\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$: En nuestro caso $a^2 = 3$, por lo que $a = \sqrt{3}$: $$J_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)$$ Unimos ambos resultados: ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{J = -\frac{1}{2} \ln(x^2 + 3) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right) + C}$$