Discusión y resolución de un sistema lineal con parámetros

**a) [1,75 puntos] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:** Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**. Primero, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & a+1 \\ a & 0 & 1 & a-1 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ El estudio del rango de $A$ depende del valor de su determinante. 💡 **Tip:** Recuerda que si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = n$ (nº de incógnitas), el sistema es compatible determinado; si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) < n$, es compatible indeterminado; y si los rangos son distintos, es incompatible.

Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (a \cdot (-1) \cdot 1) - [(1\cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot (-1)) + (a \cdot 1 \cdot 1)]$$ $$|A| = 0 + 1 - a - [0 - 1 + a] = 1 - a + 1 - a = 2 - 2a$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$2 - 2a = 0 \implies 2a = 2 \implies a = 1$$ Por tanto, el comportamiento del sistema cambiará en **$a = 1$**.

Analizamos los dos casos posibles: **Caso 1: $a \neq 1$** Si $a \neq 1$, el determinante $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de la matriz $A$ es 3. Como el rango máximo de la matriz ampliada $A^*$ también es 3 y coincide con el número de incógnitas: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = \text{nº incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)** (tiene solución única). **Caso 2: $a = 1$** Si $a = 1$, el determinante $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) < 3$. Observamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, luego **$\text{rang}(A) = 2$**. Estudiamos ahora el rango de $A^*$ sustituyendo $a = 1$: $$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Consideramos el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (3 - (-2)) = -5 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero, **$\text{rang}(A^*) = 3$**. Como $\text{rang}(A) \neq \text{rang}(A^*)$, según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Incompatible (SI)** (no tiene solución). ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \neq 1 \implies \text{SCD} \\ \text{Si } a = 1 \implies \text{SI} \end{cases}}$$

**b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 0$, si es posible.** Como $a = 0 \neq 1$, sabemos por el apartado anterior que el sistema es **Compatible Determinado**. Sustituimos $a = 0$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ z = -1 \\ x - y + z = 3 \end{cases}$$ Ya tenemos el valor de **$z = -1$**. Sustituimos este valor en las otras dos ecuaciones: 1. $x + y - 1 = 1 \implies x + y = 2$ 2. $x - y - 1 = 3 \implies x - y = 4$ Resolvemos este sistema de dos ecuaciones por reducción sumándolas: $$(x + y) + (x - y) = 2 + 4 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$ Ahora, despejamos $y$ de la primera ecuación reducida: $$3 + y = 2 \implies y = 2 - 3 \implies y = -1$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los resultados sustituyendo en las tres ecuaciones originales para asegurar que la solución es correcta. ✅ **Resultado (Solución para $a=0$):** $$\boxed{x = 3, \; y = -1, \; z = -1}$$