Ecuación matricial y propiedades de los determinantes

**a) [1 punto] Calcula razonadamente el determinante de $A^\top$, es decir, la matriz traspuesta de $A$.** Para resolver este apartado, utilizaremos una de las propiedades fundamentales de los determinantes: el determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta, es decir, $|A^\top| = |A|$. Calculamos primero el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$|A| = (2 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (2 \cdot 0 \cdot 0) - (2 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 0 \cdot 1) - (2 \cdot 1 \cdot 0)$$ $$|A| = 2 + 1 + 0 - 2 - 0 - 0 = 1$$ Como $|A| = 1$ y $|A^\top| = |A|$, entonces $|A^\top| = 1$. 💡 **Tip:** Recuerda que trasponer una matriz (cambiar filas por columnas) no altera el valor de su determinante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|A^\top| = 1}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $X \cdot A + 3 \cdot A = B$.** Primero, manipulamos la ecuación para aislar $X$. Podemos sacar factor común la matriz $A$ por la derecha: $$(X + 3I) \cdot A = B$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Para despejar $X$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha en ambos lados de la igualdad (esto es posible solo si $|A| \neq 0$): $$(X + 3I) \cdot A \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1}$$ $$X + 3I = B \cdot A^{-1}$$ $$X = B \cdot A^{-1} - 3I$$ Como en el apartado anterior vimos que $|A| = 1 \neq 0$, sabemos que la matriz $A$ es invertible. 💡 **Tip:** Al resolver ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es crucial ya que el producto de matrices no es conmutativo ($A \cdot B \neq B \cdot A$). Al sacar factor común $A$, fíjate que está a la derecha en ambos términos.

Calculamos la inversa de $A$ mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^\top$. Calculamos los adjuntos de los elementos de $A$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$ La traspuesta de la adjunta es: $$\text{Adj}(A)^\top = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Como $|A|=1$: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Calculamos el producto $B \cdot A^{-1}$: $$B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot -1, \ 0 \cdot -1 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1, \ 0 \cdot -1 + 1 \cdot -2 + 1 \cdot 2) = (0, 1, 0)$ - Fila 2: $(1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot -1, \ 1 \cdot -1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1, \ 1 \cdot -1 + 0 \cdot -2 + 1 \cdot 2) = (0, 0, 1)$ - Fila 3: $(0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot -1, \ 0 \cdot -1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1, \ 0 \cdot -1 + 1 \cdot -2 + 0 \cdot 2) = (1, 0, -2)$ $$B \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, restamos $3I$ al resultado anterior: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & -5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 1 & 0 & -5 \end{pmatrix}}$$