Probabilidad y Estadística 2021 Castilla la Mancha
Probabilidad de ingreso hospitalario y distribución binomial
8. a) En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El 20 % de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el 60 % de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un 90 % de pacientes leves y un 10 % de pacientes graves. Si se selecciona un paciente al azar:
a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital?
a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que llegara al hospital con una dolencia leve?
b) En un momento dado llegan 8 pacientes a urgencias.
b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como leves?
b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados como leves?
Tabla de la distribución binomial para n = 8:
| n | k | p: 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 8 | 0 | 0.4305 | 0.1678 | 0.0576 | 0.0168 | 0.0039 | 0.0007 | 0.0001 | 0.0000 | 0.0000 |
| | 1 | 0.3826 | 0.3355 | 0.1977 | 0.0896 | 0.0313 | 0.0079 | 0.0012 | 0.0001 | 0.0000 |
| | 2 | 0.1488 | 0.2936 | 0.2965 | 0.2090 | 0.1094 | 0.0413 | 0.0100 | 0.0011 | 0.0000 |
| | 3 | 0.0331 | 0.1468 | 0.2541 | 0.2787 | 0.2188 | 0.1239 | 0.0467 | 0.0092 | 0.0004 |
| | 4 | 0.0046 | 0.0459 | 0.1361 | 0.2322 | 0.2734 | 0.2322 | 0.1361 | 0.0459 | 0.0046 |
| | 5 | 0.0004 | 0.0092 | 0.0467 | 0.1239 | 0.2188 | 0.2787 | 0.2541 | 0.1468 | 0.0331 |
| | 6 | 0.0000 | 0.0011 | 0.0100 | 0.0413 | 0.1094 | 0.2090 | 0.2965 | 0.2936 | 0.1488 |
| | 7 | 0.0000 | 0.0001 | 0.0012 | 0.0079 | 0.0313 | 0.0896 | 0.1977 | 0.3355 | 0.3826 |
| | 8 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0001 | 0.0007 | 0.0039 | 0.0168 | 0.0576 | 0.1678 | 0.4305 |
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital?**
Primero, definimos los sucesos del problema:
- $L$: El paciente es leve.
- $G$: El paciente es grave.
- $I$: El paciente ingresa en el hospital.
- $\bar{I}$: El paciente no ingresa en el hospital.
Extraemos las probabilidades del enunciado:
- $P(L) = 0.90$ (90 % son leves)
- $P(G) = 0.10$ (10 % son graves)
- $P(I|L) = 0.20$ (20 % de los leves ingresan)
- $P(I|G) = 0.60$ (60 % de los graves ingresan)
Visualizamos la situación con un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de ingreso (Teorema de la Probabilidad Total)
Para hallar la probabilidad de que un paciente ingrese, $P(I)$, sumamos las probabilidades de las distintas ramas que terminan en ingreso:
$$P(I) = P(L) \cdot P(I|L) + P(G) \cdot P(I|G)$$
Sustituimos los valores:
$$P(I) = (0.90 \cdot 0.20) + (0.10 \cdot 0.60)$$
$$P(I) = 0.18 + 0.06 = 0.24$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa para calcular la probabilidad de un evento final sumando todas las formas posibles de llegar a él.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(I) = 0.24}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada (Teorema de Bayes)
**a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que llegara al hospital con una dolencia leve?**
Nos piden la probabilidad de que el paciente fuera leve sabiendo que ha ingresado, es decir, $P(L|I)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(L|I) = \frac{P(L \cap I)}{P(I)} = \frac{P(L) \cdot P(I|L)}{P(I)}$$
Ya tenemos los datos calculados anteriormente:
- $P(L \cap I) = 0.90 \cdot 0.20 = 0.18$
- $P(I) = 0.24$
Calculamos:
$$P(L|I) = \frac{0.18}{0.24} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} = 0.75$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "volver atrás" en el árbol, calculando la probabilidad de una causa dado un efecto conocido.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(L|I) = 0.75}$$
Paso 4
Distribución Binomial: Probabilidad exacta
**b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como leves?**
Estamos ante un experimento de Bernoulli repetido $n = 8$ veces de forma independiente. Definimos la variable aleatoria:
$X$: número de pacientes clasificados como leves de entre 8 que llegan.
$X$ sigue una **distribución binomial** $B(n, p)$ con:
- $n = 8$ (número total de pacientes).
- $p = 0.90$ (probabilidad de que un paciente sea leve, según el apartado a).
Nos piden $P(X = 4)$. Consultamos la tabla proporcionada para $n = 8$, $k = 4$ y $p = 0.9$:
- Buscamos la fila $k = 4$.
- Buscamos la columna $p = 0.9$.
El valor en la tabla es **0.0046**.
💡 **Tip:** En una distribución binomial, $P(X=k)$ representa la probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X = 4) = 0.0046}$$
Paso 5
Distribución Binomial: Probabilidad acumulada
**b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados como leves?**
Se nos pide la probabilidad de que $X \le 7$. Esto equivale a la suma de las probabilidades de tener 0, 1, 2, ..., hasta 7 pacientes leves:
$$P(X \le 7) = P(X=0) + P(X=1) + \dots + P(X=7)$$
Es más sencillo calcularlo mediante el **suceso contrario**:
$$P(X \le 7) = 1 - P(X \gt 7) = 1 - P(X = 8)$$
Consultamos en la tabla el valor para $n = 8$, $k = 8$ y $p = 0.9$:
$$P(X = 8) = 0.4305$$
Calculamos la diferencia:
$$P(X \le 7) = 1 - 0.4305 = 0.5695$$
💡 **Tip:** Cuando una probabilidad acumulada implica muchos términos, suele ser más rápido usar $1 - P(\text{contrario})$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \le 7) = 0.5695}$$