Puntos de inflexión y Teorema de Rolle

**a) [1 punto] Sea la función $f(x) = a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + x - 1$, con $a, b \in \mathbb{R}$. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de $f(x)$ pase por el punto $(1, 1)$ y tenga aquí un punto de inflexión.** Si la función pasa por el punto $(1, 1)$, se debe cumplir que $f(1) = 1$. Sustituimos $x = 1$ en la expresión de la función: $$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + 1 - 1 = 1$$ $$a + b = 1$$ 💡 **Tip:** Que una función pase por un punto $(x_0, y_0)$ implica que $f(x_0) = y_0$.

Para que en $x = 1$ exista un punto de inflexión, la segunda derivada en ese punto debe ser cero ($f''(1) = 0$) y debe haber un cambio de curvatura. Calculamos la primera y segunda derivada de $f(x) = a x^3 + b x^2 + x - 1$: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 1$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ Imponemos la condición $f''(1) = 0$: $$6a(1) + 2b = 0 \implies 6a + 2b = 0 \implies 3a + b = 0$$ 💡 **Tip:** Los candidatos a puntos de inflexión son los valores de $x$ que anulan la segunda derivada.

Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: $$\begin{cases} a + b = 1 \\ 3a + b = 0 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(3a + b) - (a + b) = 0 - 1$$ $$2a = -1 \implies a = -\frac{1}{2}$$ Sustituimos el valor de $a$ en la primera ecuación: $$-\frac{1}{2} + b = 1 \implies b = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ Por tanto, los valores buscados son: $$\boxed{a = -\dfrac{1}{2}, \quad b = \dfrac{3}{2}}$$

Comprobamos que para estos valores existe realmente un cambio de curvatura en $x=1$. La segunda derivada es: $$f''(x) = 6\left(-\frac{1}{2}\right)x + 2\left(\frac{3}{2}\right) = -3x + 3 = -3(x - 1)$$ **Tabla de signos de $f''(x)$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f''(x) & + & 0 & - \\ \text{Curvatura} & \text{Convexa (\cup)} & \text{P.I.} & \text{Cóncava (\cap)} \end{array}$$ Como hay un cambio de signo en $f''(x)$ al pasar por $x=1$, se confirma que es un **punto de inflexión**.

**b) [1,5 puntos] Sea la función $f(x) = x \operatorname{sen}(x) - \cos(x)$. Enuncia el teorema de Rolle y úsalo para razonar si la función $f(x) & \text{tiene al menos un extremo relativo en el intervalo } [-1, 1].** **Teorema de Rolle:** Sea $f(x)$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$, derivable en el intervalo abierto $(a, b)$ y tal que $f(a) = f(b)$. Entonces, existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que $f'(c) = 0$.

Comprobamos las hipótesis del teorema para $f(x) = x \operatorname{sen}(x) - \cos(x)$ en el intervalo $[-1, 1]$: 1. **Continuidad:** $f(x)$ es suma y producto de funciones continuas en $\mathbb{R}$ ($x$, $\operatorname{sen}(x)$, $\cos(x)$), por lo que es **continua en $[-1, 1]$**. 2. **Derivabilidad:** Calculamos la derivada: $$f'(x) = 1 \cdot \operatorname{sen}(x) + x \cos(x) - (-\operatorname{sen}(x)) = 2 \operatorname{sen}(x) + x \cos(x)$$ $f'(x)$ está definida para todo $x \in \mathbb{R}$, por tanto $f(x)$ es **derivable en $(-1, 1)$**. 3. **Igualdad en los extremos:** $$f(-1) = (-1) \operatorname{sen}(-1) - \cos(-1)$$ Recordando que $\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen}(x)$ y $\cos(-x) = \cos(x)$: $$f(-1) = (-1)(-\operatorname{sen}(1)) - \cos(1) = \operatorname{sen}(1) - \cos(1)$$ $$f(1) = (1) \operatorname{sen}(1) - \cos(1) = \operatorname{sen}(1) - \cos(1)$$ Efectivamente, **$f(-1) = f(1)$**. Al cumplirse las tres condiciones, el Teorema de Rolle garantiza que existe al menos un $c \in (-1, 1)$ tal que $f'(c) = 0$.

Hemos demostrado que existe un punto $c \in (-1, 1)$ tal que $f'(c) = 0$. Este punto es un punto crítico o estacionario. Para comprobar si es un extremo relativo, podemos ver la segunda derivada: $$f''(x) = 2 \cos(x) + (1 \cdot \cos(x) - x \operatorname{sen}(x)) = 3 \cos(x) - x \operatorname{sen}(x)$$ Obsérvese que un punto evidente donde $f'(x) = 0$ es $x=0$ (que pertenece al intervalo $(-1, 1)$): $$f'(0) = 2 \operatorname{sen}(0) + 0 \cos(0) = 0$$ Calculamos la segunda derivada en $x=0$: $$f''(0) = 3 \cos(0) - 0 \operatorname{sen}(0) = 3 \cdot 1 - 0 = 3 > 0$$ Como $f'(0) = 0$ y $f''(0) > 0$, existe un **mínimo relativo** en $x = 0$. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Sí, la función tiene al menos un extremo relativo en } [-1, 1] \text{ por el Teorema de Rolle.}}$$