Análisis de una función racional: extremos y rectas tangente/normal

**a) [1,5 puntos] Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifícalos.** Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = \frac{2x^2 + 2x - 2}{3x^2 + 3}$. Usamos la regla del cociente: Sea $u = 2x^2 + 2x - 2 \implies u' = 4x + 2$. Sea $v = 3x^2 + 3 \implies v' = 6x$. $$f'(x) = \frac{(4x + 2)(3x^2 + 3) - (2x^2 + 2x - 2)(6x)}{(3x^2 + 3)^2}$$ Expandimos el numerador: $$(4x + 2)(3x^2 + 3) = 12x^3 + 12x + 6x^2 + 6$$ $$(2x^2 + 2x - 2)(6x) = 12x^3 + 12x^2 - 12x$$ Restamos: $$12x^3 + 6x^2 + 12x + 6 - (12x^3 + 12x^2 - 12x) = -6x^2 + 24x + 6$$ Simplificamos la expresión de la derivada: $$f'(x) = \frac{-6x^2 + 24x + 6}{9(x^2 + 1)^2} = \frac{6(-x^2 + 4x + 1)}{9(x^2 + 1)^2} = \frac{2(-x^2 + 4x + 1)}{3(x^2 + 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $$\boxed{f'(x) = \frac{2(-x^2 + 4x + 1)}{3(x^2 + 1)^2}}$$

Los extremos relativos se encuentran en los puntos donde la derivada es igual a cero: $$f'(x) = 0 \implies -x^2 + 4x + 1 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(1)}}{2(-1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4}}{-2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{-2}$$ $$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{-2} = 2 \pm \sqrt{5}$$ Los valores críticos son: $$x_1 = 2 - \sqrt{5} \approx -0.24, \quad x_2 = 2 + \sqrt{5} \approx 4.24$$ Calculamos ahora las ordenadas correspondientes para obtener las coordenadas completas: - Para $x_1 = 2 - \sqrt{5}$, sustituyendo en $f(x)$ se obtiene $y_1 = -\frac{\sqrt{5}}{3} \approx -0.75$. - Para $x_2 = 2 + \sqrt{5}$, sustituyendo en $f(x)$ se obtiene $y_2 = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.75$. $$\boxed{P_1(2 - \sqrt{5}, -\sqrt{5}/3), \quad P_2(2 + \sqrt{5}, \sqrt{5}/3)}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos. El denominador $3(x^2+1)^2$ siempre es positivo, por lo que el signo depende de $(-x^2 + 4x + 1)$. $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 2-\sqrt{5}) & 2-\sqrt{5} & (2-\sqrt{5}, 2+\sqrt{5}) & 2+\sqrt{5} & (2+\sqrt{5}, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & -\\ \hline \text{Crecimiento} & \searrow & \text{mín} & \nearrow & \text{máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 2-\sqrt{5})$, $f'(x) \lt 0$, la función es decreciente. - En $(2-\sqrt{5}, 2+\sqrt{5})$, $f'(x) \gt 0$, la función es creciente. - En $(2+\sqrt{5}, +\infty)$, $f'(x) \lt 0$, la función es decreciente. Por tanto: - En $x = 2 - \sqrt{5}$ hay un **mínimo relativo**. - En $x = 2 + \sqrt{5}$ hay un **máximo relativo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Mínimo: } (2-\sqrt{5}, -\frac{\sqrt{5}}{3}), \quad \text{Máximo: } (2+\sqrt{5}, \frac{\sqrt{5}}{3})}$$

**b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$.** Primero, calculamos el valor de la función en $x = 1$: $$f(1) = \frac{2(1)^2 + 2(1) - 2}{3(1)^2 + 3} = \frac{2 + 2 - 2}{3 + 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ El punto de tangencia es $P(1, 1/3)$. Calculamos la pendiente de la recta tangente ($m_t$) usando la derivada en $x = 1$: $$m_t = f'(1) = \frac{2(-(1)^2 + 4(1) + 1)}{3(1^2 + 1)^2} = \frac{2(-1 + 4 + 1)}{3(2)^2} = \frac{2(4)}{3(4)} = \frac{2}{3}$$ **Ecuación de la recta tangente:** $$y - f(1) = f'(1)(x - 1) \implies y - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}(x - 1)$$ Multiplicando por 3: $3y - 1 = 2x - 2 \implies 2x - 3y - 1 = 0$. **Ecuación de la recta normal:** La pendiente de la normal es $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{3}{2}$. $$y - \frac{1}{3} = -\frac{3}{2}(x - 1)$$ Multiplicando por 6: $6y - 2 = -9(x - 1) \implies 6y - 2 = -9x + 9 \implies 9x + 6y - 11 = 0$. 💡 **Tip:** La recta normal es perpendicular a la tangente, por lo que su pendiente es el opuesto del inverso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Tangente: } y = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}; \quad \text{Normal: } y = -\frac{3}{2}x + \frac{11}{6}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{2x^2 + 2x - 2}{3x^2 + 3}", "color": "#2563eb" }, { "id": "tang", "latex": "y - 1/3 = (2/3)(x - 1)", "color": "#ef4444" }, { "id": "norm", "latex": "y - 1/3 = (-3/2)(x - 1)", "color": "#16a34a" }, { "id": "p", "latex": "(1, 1/3)", "showLabel": true } ], "bounds": { "left": -4, "right": 8, "bottom": -2, "top": 2 } } }