Límites y continuidad de funciones a trozos

**a) [1 punto] Calcula razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{e^{x-1} - 1}$.** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 1$ en la expresión para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{e^{x-1} - 1} = \frac{1 - 1}{e^{1-1} - 1} = \frac{0}{e^0 - 1} = \frac{0}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador por separado. 💡 **Tip:** Recuerda que la Regla de L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y las funciones son derivables en el entorno del punto.

Derivamos el numerador $u(x) = x - 1$ y el denominador $v(x) = e^{x-1} - 1$: - Derivada del numerador: $(x - 1)' = 1$ - Derivada del denominador: $(e^{x-1} - 1)' = e^{x-1} \cdot 1 = e^{x-1}$ Aplicamos el límite a la nueva expresión: $$\lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{e^{x-1} - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x-1}} = \frac{1}{e^{1-1}} = \frac{1}{e^0} = \frac{1}{1} = 1$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{1}$$

**b) [1,5 puntos] Dada la función $f(x)$ estudia su continuidad en $x = 0$ y en $x = 2$ e indica el tipo de discontinuidad, si la hubiera.** Para estudiar la continuidad en $x = 0$, debemos comprobar si el valor de la función coincide con sus límites laterales. 1. **Valor de la función:** $f(0)$ se calcula en la segunda rama: $$f(0) = \frac{1}{0 - 1} = -1$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 0^-$):** Usamos la primera rama ($e^x$): $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} e^x = e^0 = 1$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 0^+$):** Usamos la segunda rama: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x-1} = \frac{1}{-1} = -1$$ Como $\lim_{x \to 0^-} f(x) \neq \lim_{x \to 0^+} f(x)$, el límite no existe. Al ser ambos valores finitos pero distintos, hay un salto entre ramas. ✅ **Resultado en $x = 0$:** $$\boxed{\text{Discontinuidad inevitable de salto finito en } x = 0}$$

Analizamos ahora el punto $x = 2$ siguiendo los mismos pasos: 1. **Valor de la función:** $f(2)$ se calcula en la segunda rama: $$f(2) = \frac{1}{2 - 1} = 1$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 2^-$):** Usamos la segunda rama: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x - 1} = \frac{1}{1} = 1$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 2^+$):** Usamos la tercera rama ($x$): $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} x = 2$$ Comparamos los límites laterales: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1$ y $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2$. Como son distintos y finitos, existe un salto. 💡 **Tip:** Una función es continua en $x=a$ si $f(a) = \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$. ✅ **Resultado en $x = 2$:** $$\boxed{\text{Discontinuidad inevitable de salto finito en } x = 2}$$