Perpendicularidad entre planos y distancia de un punto a un plano

**a) [1 punto] Determina razonadamente el valor de $a$ para que los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ sean perpendiculares.** Dos planos son perpendiculares si y solo si sus vectores normales son perpendiculares. Extraemos los vectores normales de las ecuaciones generales de los planos: - Para el plano $\pi_1 \equiv a \cdot x + y + 2 \cdot z = 3$, el vector normal es $\vec{n_1} = (a, 1, 2)$. - Para el plano $\pi_2 \equiv 2 \cdot x - y + a \cdot z = 0$, el vector normal es $\vec{n_2} = (2, -1, a)$. La condición de perpendicularidad $\pi_1 \perp \pi_2$ implica que el producto escalar de sus vectores normales debe ser cero: $$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es directamente el vector formado por los coeficientes $(A, B, C)$.

Calculamos el producto escalar e igualamos a cero: $$(a, 1, 2) \cdot (2, -1, a) = 0$$ $$(a \cdot 2) + (1 \cdot (-1)) + (2 \cdot a) = 0$$ $$2a - 1 + 2a = 0$$ $$4a - 1 = 0$$ $$4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$$ Para $a = 1/4$, los planos son perpendiculares. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = \frac{1}{4}}$$

**b) [1,5 puntos] Para $a = 1$ calcula la distancia del punto $P(2, 0, 1)$ al plano $\pi_1$.** Sustituimos $a = 1$ en la ecuación del plano $\pi_1$: $$\pi_1 \equiv 1 \cdot x + y + 2 \cdot z = 3 \implies x + y + 2z - 3 = 0$$ Para calcular la distancia del punto $P(x_0, y_0, z_0)$ al plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$, utilizamos la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso: - $P(2, 0, 1)$ - Plano: $1x + 1y + 2z - 3 = 0$ 💡 **Tip:** No olvides pasar todos los términos al mismo lado de la igualdad para tener la ecuación en la forma $Ax + By + Cz + D = 0$ antes de aplicar la fórmula.

Sustituimos los valores en la fórmula: $$d(P, \pi_1) = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2}}$$ $$d(P, \pi_1) = \frac{|2 + 0 + 2 - 3|}{\sqrt{1 + 1 + 4}}$$ $$d(P, \pi_1) = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(P, \pi_1) = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$$ La distancia es aproximadamente $0,408$ unidades. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, \pi_1) = \frac{\sqrt{6}}{6} \text{ unidades}}$$