Cálculo de integrales indefinidas

**a) [1,25 punto] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int x \cdot \cos(3x) dx$.** Para resolver esta integral, observamos que tenemos el producto de una función polinómica ($x$) por una función trigonométrica ($\cos(3x)$). Utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos los términos siguiendo la regla mnemotécnica ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos(3x) dx \implies v = \int \cos(3x) dx = \frac{1}{3} \sin(3x)$ 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. La elección de $u$ suele ser la función que se simplifica al derivar.

Sustituimos los términos en la fórmula de integración por partes: $$\int x \cos(3x) dx = x \cdot \left( \frac{1}{3} \sin(3x) \right) - \int \frac{1}{3} \sin(3x) dx$$ Operamos y resolvemos la integral resultante: $$\frac{x}{3} \sin(3x) - \frac{1}{3} \int \sin(3x) dx$$ Como la integral de $\sin(kx)$ es $-\frac{1}{k}\cos(kx)$: $$\frac{x}{3} \sin(3x) - \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{3} \cos(3x) \right) + C$$ $$\frac{x}{3} \sin(3x) + \frac{1}{9} \cos(3x) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x \cos(3x) dx = \frac{x}{3} \sin(3x) + \frac{1}{9} \cos(3x) + C}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int \frac{dx}{2x^2 + 1}$.** Esta integral tiene una estructura similar a la de la función **arco tangente**, cuya forma general es: $$\int \frac{f'(x)}{1 + [f(x)]^2} dx = \arctan(f(x)) + C$$ En nuestro caso, queremos que el denominador sea de la forma $1 + [f(x)]^2$. Para ello, reescribimos el término $2x^2$ como un cuadrado perfecto: $$2x^2 = (\sqrt{2}x)^2$$ Por tanto, la integral se puede expresar como: $$\int \frac{1}{1 + (\sqrt{2}x)^2} dx$$ 💡 **Tip:** No es estrictamente necesario un cambio de variable formal; basta con ajustar las constantes para que el numerador sea la derivada de la base de la potencia del denominador.

Para aplicar la fórmula de la integral inmediata, necesitamos que en el numerador aparezca la derivada de $f(x) = \sqrt{2}x$, que es $\sqrt{2}$. Multiplicamos y dividimos por $\sqrt{2}$: $$\int \frac{1}{1 + (\sqrt{2}x)^2} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{\sqrt{2}}{1 + (\sqrt{2}x)^2} dx$$ Ahora la integral ya es inmediata del tipo arco tangente: $$\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan(\sqrt{2}x) + C$$ Si queremos racionalizar el coeficiente: $$\frac{\sqrt{2}}{2} \arctan(\sqrt{2}x) + C$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int \frac{dx}{2x^2 + 1} = \frac{\sqrt{2}}{2} \arctan(\sqrt{2}x) + C}$$