Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) [1,75 puntos] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ a & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & a \\ a & 2 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ a & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1\cdot 0\cdot 1) + (a\cdot 1\cdot a) + (1\cdot 1\cdot 2) - (1\cdot 0\cdot a) - (1\cdot 1\cdot 1) - (a\cdot 2\cdot 1)$$ $$|A| = 0 + a^2 + 2 - 0 - 1 - 2a = a^2 - 2a + 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos del parámetro: $$a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a - 1)^2 = 0 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema es Compatible Determinado si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero.

**Caso 1: $a \neq 1$** Si $a \neq 1$, el determinante $|A| \neq 0$. Por lo tanto: - $\text{rango}(A) = 3$ - $\text{rango}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que $\text{rango}(A)$) - Número de incógnitas = 3 Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = n$, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una única solución. ✅ **Conclusión parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado}}$$

**Caso 2: $a = 1$** Sustituimos $a = 1$ en las matrices: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rango}(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$. Tomamos el menor de orden 2 anterior y lo ampliamos con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (0 + 1 + 4) - (0 + 2 + 3) = 5 - 5 = 0$$ Al ser este determinante nulo y no haber más columnas para orlar (la $C_3$ es idéntica a $C_1$), concluimos que $\text{rango}(A^*) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3$ (nº de incógnitas). ✅ **Conclusión parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)}}$$

**b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.** Para $a = 2$, sabemos por el apartado anterior que el sistema es Compatible Determinado. El sistema queda: $$\begin{cases} x + 2y + z = 2 & \text{(E1)} \\ x + z = 2 & \text{(E2)} \\ 2x + 2y + z = 3 & \text{(E3)} \end{cases}$$ Podemos resolver por reducción de forma sencilla. Restamos (E1) a (E3): $$(2x + 2y + z) - (x + 2y + z) = 3 - 2 \implies x = 1$$ Sustituimos $x = 1$ en la ecuación (E2): $$1 + z = 2 \implies z = 1$$ Finalmente, sustituimos $x = 1$ y $z = 1$ en la ecuación (E1): $$1 + 2y + 1 = 2 \implies 2y + 2 = 2 \implies 2y = 0 \implies y = 0$$ 💡 **Tip:** Siempre puedes verificar la solución sustituyendo los valores obtenidos en las tres ecuaciones originales para comprobar que se cumplen las igualdades. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = 1, \; y = 0, \; z = 1}$$