Matriz inversa y ecuación matricial

**a) [1 punto] Calcula razonadamente la matriz inversa de $A$.** Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (3 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 0) + (1 \cdot 2 \cdot 1) - [ (0 \cdot 0 \cdot 2) + (1 \cdot 1 \cdot 3) + (1 \cdot 1 \cdot 1) ]$$ $$|A| = (0 + 0 + 2) - (0 + 3 + 1) = 2 - 4 = -2$$ Como $|A| = -2 \neq 0$, podemos afirmar que existe la matriz inversa $A^{-1}$. 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante se calcula sumando los productos de la diagonal principal y sus paralelas, y restando los productos de la diagonal secundaria y las suyas.

Calculamos ahora los adjuntos de cada elemento de $A$, denotados como $A_{ij}$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3; \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -3$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1; \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1; \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ La matriz de adjuntos es $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -3 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$. Traspasamos la matriz adjunta: $(\text{Adj}(A))^t = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}$

Aplicamos la fórmula de la matriz inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ 1 & -3 & -1 \end{pmatrix}$$ Multiplicando por el escalar $-1/2$: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1/2 & -3/2 & 1/2 \\ -1/2 & 3/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.5 & -0.5 & -0.5 \\ 0.5 & -1.5 & 0.5 \\ -0.5 & 1.5 & 0.5 \end{pmatrix}}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX + 3I = A$.** Primero aislamos el término que contiene la matriz incógnita $X$. Restamos $3I$ en ambos lados de la igualdad: $$AX = A - 3I$$ Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ en ambos miembros. Es fundamental el orden, ya que el producto de matrices no es conmutativo: $$A^{-1} \cdot (AX) = A^{-1} \cdot (A - 3I)$$ $$(A^{-1} A) X = A^{-1} A - A^{-1} (3I)$$ $$I X = I - 3 A^{-1}$$ $$X = I - 3 A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Multiplicar una matriz por la identidad ($I$) no la cambia, es decir, $A \cdot I = A$ y $A^{-1} A = I$.

Sustituimos las matrices conocidas en la expresión $X = I - 3 A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - 3 \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1/2 & -3/2 & 1/2 \\ -1/2 & 3/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos $A^{-1}$ por el escalar $3$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3/2 & -3/2 & -3/2 \\ 3/2 & -9/2 & 3/2 \\ -3/2 & 9/2 & 3/2 \end{pmatrix}$$ Realizamos la resta elemento a elemento: $$X = \begin{pmatrix} 1 - 3/2 & 0 - (-3/2) & 0 - (-3/2) \\ 0 - 3/2 & 1 - (-9/2) & 0 - 3/2 \\ 0 - (-3/2) & 0 - 9/2 & 1 - 3/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & 3/2 & 3/2 \\ -3/2 & 11/2 & -3/2 \\ 3/2 & -9/2 & -1/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -0.5 & 1.5 & 1.5 \\ -1.5 & 5.5 & -1.5 \\ 1.5 & -4.5 & -0.5 \end{pmatrix}}$$