Área entre curvas y cálculo de límites con L'Hôpital

**a) Calcular el área del recinto limitado por las curvas $f(x) = |x|$ y $g(x) = x^2 - 2$. (1,5 puntos)** Primero, definimos la función valor absoluto $f(x)$ como una función a trozos: $$f(x)=\begin{cases} -x & \text{si } x < 0,\\ x & \text{si } x \ge 0. \end{cases}$$ Para hallar el área, necesitamos los puntos de corte entre las dos curvas igualando $f(x) = g(x)$: 1. **Si $x \ge 0$:** $$x = x^2 - 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 2, \, x_2 = -1$$ Como estamos en el intervalo $x \ge 0$, tomamos **$x = 2$**. 2. **Si $x < 0$:** $$-x = x^2 - 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies x_3 = 1, \, x_4 = -2$$ Como estamos en el intervalo $x < 0$, tomamos **$x = -2$**. 💡 **Tip:** Las funciones son simétricas respecto al eje $Y$ (son funciones pares), ya que $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$ y $g(-x) = (-x)^2 - 2 = x^2 - 2 = g(x)$. Esto nos permitirá simplificar el cálculo del área. $$\boxed{\text{Puntos de corte: } x = -2, \, x = 2}$$

Debido a la simetría de ambas funciones, el área total es el doble del área calculada entre $x = 0$ y $x = 2$. En este intervalo, $f(x) = x$ y $g(x) = x^2 - 2$. Comprobamos qué función está por encima en $(0, 2)$ tomando $x=1$: $f(1) = 1$ y $g(1) = 1^2 - 2 = -1$. Como $f(1) > g(1)$, la función $f(x)$ es el techo del recinto. El área es: $$A = \int_{-2}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = 2 \int_{0}^{2} (x - (x^2 - 2)) \, dx$$ $$A = 2 \int_{0}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$A = 2 \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{0}^{2}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$A = 2 \left[ \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2) \right) - (0) \right] = 2 \left[ -\frac{8}{3} + 2 + 4 \right] = 2 \left[ -\frac{8}{3} + 6 \right]$$ $$A = 2 \left[ \frac{-8 + 18}{3} \right] = 2 \left[ \frac{10}{3} \right] = \frac{20}{3}$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = \frac{20}{3} \text{ u}^2}$$

**b) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x^2)}{e^{3x^2} - 1}$. (1 punto)** Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x^2)}{e^{3x^2} - 1} = \frac{\operatorname{sen}(0)}{e^0 - 1} = \frac{0}{1 - 1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: Derivada del numerador: $[\operatorname{sen}(x^2)]' = \cos(x^2) \cdot 2x$ Derivada del denominador: $[e^{3x^2} - 1]' = e^{3x^2} \cdot 6x$ El límite queda: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x^2) \cdot 2x}{e^{3x^2} \cdot 6x}$$ Simplificamos la expresión cancelando $x$ (ya que $x \to 0$ pero $x \neq 0$) y reduciendo la fracción $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{2x \cos(x^2)}{6x e^{3x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x^2)}{3 e^{3x^2}}$$ Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x=0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{\cos(0^2)}{3 e^{3(0)^2}} = \frac{\cos(0)}{3 e^0} = \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al aplicar L'Hôpital derivamos numerador y denominador de forma independiente, no como una derivada del cociente. ✅ **Resultado (límite):** $$\boxed{\frac{1}{3}}$$