Extremos relativos con parámetros y recta tangente

**a) Calcular $a$ para que la función $f(x) = ax^3 - 3x + 1$ tenga un extremo relativo en $x = 1$. (1,5 puntos)** Para que una función derivable tenga un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto $x = x_0$, la primera derivada en ese punto debe ser igual a cero ($f'(x_0) = 0$). Primero, calculamos la derivada de la función $f(x) = ax^3 - 3x + 1$: $$f'(x) = 3ax^2 - 3$$ Ahora, aplicamos la condición de extremo en $x = 1$: $$f'(1) = 0 \implies 3a(1)^2 - 3 = 0$$ $$3a - 3 = 0$$ $$3a = 3 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la condición necesaria para la existencia de un extremo relativo en funciones derivables es que la pendiente de la recta tangente sea horizontal, es decir, $f'(x) = 0$. $$\boxed{a = 1}$$

Para confirmar que en $x=1$ existe un extremo relativo cuando $a=1$, podemos usar el criterio de la segunda derivada o estudiar el signo de la primera derivada. Calculamos la segunda derivada para $a=1$: $$f'(x) = 3x^2 - 3 \implies f''(x) = 6x$$ Evaluamos en $x = 1$: $$f''(1) = 6(1) = 6$$ Como $f''(1) \gt 0$, confirmamos que en $x = 1$ hay un **mínimo relativo**. También podemos ver el cambio de signo de $f'(x)$ alrededor de los puntos críticos ($x=1, x=-1$): $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$

**b) Calcular la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 3x + 1$, en el punto $(1,-1)$. (1 punto)** La ecuación de la recta tangente a la función en un punto $x = x_0$ viene dada por la fórmula: $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$ En este caso, el punto es $(1, -1)$, por lo que $x_0 = 1$ y $f(x_0) = -1$. Calculamos la pendiente $m = f'(1)$ utilizando la función del apartado anterior con $a=1$: $$f(x) = x^3 - 3x + 1$$ $$f'(x) = 3x^2 - 3$$ Sustituimos $x = 1$: $$m = f'(1) = 3(1)^2 - 3 = 3 - 3 = 0$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada de la función en la abscisa de dicho punto.

Sustituimos los valores conocidos en la ecuación de la recta: - $x_0 = 1$ - $f(x_0) = -1$ - $m = 0$ $$y - (-1) = 0(x - 1)$$ $$y + 1 = 0$$ $$y = -1$$ La recta tangente es una recta horizontal que pasa por la ordenada del punto dado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{y = -1}$$