Plano definido por una recta y un punto exterior

Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un punto y un vector normal). Como el plano contiene a la recta $r$, contendrá a cualquier punto de la misma y su dirección será uno de los vectores directores del plano. A partir de la ecuación continua de la recta $r \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{1}$, identificamos: - Un punto de la recta: $P_r(2, 1, -1)$ - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (1, 3, 1)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$. ¡Cuidado con los signos en el numerador! $$\boxed{P_r(2, 1, -1), \quad \vec{v}_r = (1, 3, 1)}$$

Para completar la caracterización del plano, necesitamos otro vector director que no sea paralelo a $\vec{v}_r$. Podemos obtenerlo uniendo el punto $P_r$ de la recta con el punto $A(2, 5, 1)$ dado en el enunciado. Calculamos el vector $\vec{u} = \vec{P_r A}$: $$\vec{u} = A - P_r = (2 - 2, 5 - 1, 1 - (-1)) = (0, 4, 2)$$ Podemos observar que $\vec{u}$ y $\vec{v}_r$ no son proporcionales, por lo que determinan un plano. 💡 **Tip:** El vector que une dos puntos $A$ y $B$ se calcula restando sus coordenadas: $\vec{AB} = B - A$.

El vector normal $\vec{n}$ del plano es perpendicular a sus dos vectores directores. Lo hallamos mediante el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{u}$: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila o por la regla de Sarrus: $$\vec{n} = \vec{i} (3 \cdot 2 - 4 \cdot 1) - \vec{j} (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1) + \vec{k} (1 \cdot 4 - 0 \cdot 3)$$ $$\vec{n} = \vec{i} (6 - 4) - \vec{j} (2 - 0) + \vec{k} (4 - 0)$$ $$\vec{n} = (2, -2, 4)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional como vector normal: $$\vec{n}' = (1, -1, 2)$$ 💡 **Tip:** Si el vector normal es $(A, B, C)$, la ecuación del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$.

Utilizamos la forma general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$ con el vector normal $\vec{n}' = (1, -1, 2)$: $$1x - 1y + 2z + D = 0 \implies x - y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(2, 5, 1)$: $$2 - 5 + 2(1) + D = 0$$ $$2 - 5 + 2 + D = 0$$ $$-1 + D = 0 \implies D = 1$$ La ecuación del plano es: $$x - y + 2z + 1 = 0$$ Comprobamos con el punto $P_r(2, 1, -1)$: $$2 - 1 + 2(-1) + 1 = 2 - 1 - 2 + 1 = 0$$ Como cumple la ecuación, el resultado es correcto. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x - y + 2z + 1 = 0}$$