Sistema de ecuaciones matriciales e inversa de una matriz

**a) Hallar $X$ e $Y$. (1 punto)** Para resolver el sistema de ecuaciones matriciales, podemos utilizar el método de reducción, tratándolo de forma similar a un sistema de ecuaciones lineales numéricas. Sean las ecuaciones: (1) $X - Y = A$ (2) $X + Y = B$ donde $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$. Sumamos ambas ecuaciones $(1) + (2)$ para eliminar $Y$: $$(X - Y) + (X + Y) = A + B \implies 2X = A + B$$ Realizamos la suma de las matrices: $$2X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$$ Despejamos $X$ multiplicando por $\frac{1}{2}$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En sistemas de ecuaciones matriciales, las propiedades de la suma y la multiplicación por un escalar funcionan igual que con números reales. $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $Y$, podemos restar las ecuaciones $(2) - (1)$ o sustituir el valor de $X$ obtenido en cualquiera de las ecuaciones originales. Optamos por restar: $$(X + Y) - (X - Y) = B - A \implies 2Y = B - A$$ Realizamos la resta de las matrices: $$2Y = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-1 & 6-2 \\ 7-3 & 8-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$$ Despejamos $Y$ multiplicando por $\frac{1}{2}$: $$Y = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}}$$

**b) Suponiendo que $X = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$ e $Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ calcular, cuando tenga sentido, $X^{-1}$ e $Y^{-1}$ (razonar la posible respuesta negativa). (1,5 puntos)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Calculamos primero el determinante de $X$: $$|X| = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = (3 \cdot 6) - (4 \cdot 5) = 18 - 20 = -2$$ Como $|X| = -2 \neq 0$, la matriz **$X$ es regular y tiene inversa**. 💡 **Tip:** Recuerda que para una matriz $2 \times 2$, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria.

Para calcular $X^{-1}$ usamos la fórmula: $X^{-1} = \frac{1}{|X|} \text{Adj}(X)^T$. 1. Calculamos la matriz de adjuntos (cofactores) de $X = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}$: - $C_{11} = +6$ - $C_{12} = -5$ - $C_{21} = -4$ - $C_{22} = +3$ $$\text{Adj}(X) = \begin{pmatrix} 6 & -5 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta: $$\text{Adj}(X)^T = \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$$ 3. Obtenemos $X^{-1}$ dividiendo por el determinante ($|X| = -2$): $$X^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 6 & -4 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 5/2 & -3/2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (Inversa de X):** $$\boxed{X^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 2.5 & -1.5 \end{pmatrix}}$$

Ahora comprobamos si la matriz $Y = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$ tiene inversa calculando su determinante: $$|Y| = \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = (2 \cdot 2) - (2 \cdot 2) = 4 - 4 = 0$$ Como **$|Y| = 0$**, la matriz $Y$ es singular. **Razonamiento:** Puesto que el determinante de $Y$ es nulo, las filas (o columnas) de la matriz son linealmente dependientes. Una condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa es que su determinante sea no nulo. ✅ **Resultado (Inversa de Y):** $$\boxed{\text{La matriz } Y \text{ no tiene inversa (no tiene sentido calcular } Y^{-1})}$$