Cálculo de área mediante integrales y resolución de límites por L'Hôpital

**a) Hallar el área del recinto del plano limitado por la gráfica de $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje $OX$ si $x$ pertenece al intervalo $[0,2]$. (1,5 puntos)** Para calcular el área limitada por la curva y el eje $OX$, lo primero que debemos hacer es determinar si la función corta al eje $OX$ en algún punto dentro del intervalo dado $[0,2]$. Esto nos indicará si debemos dividir la integral en varios recintos. Buscamos los puntos de corte con el eje $OX$ (donde $f(x)=0$): $$x^3 - 4x = 0 \implies x(x^2 - 4) = 0$$ De aquí obtenemos las soluciones: - $x = 0$ - $x^2 = 4 \implies x = 2, \, x = -2$ En el intervalo $[0, 2]$, solo tenemos cortes en los extremos ($x=0$ y $x=2$). Ahora comprobamos el signo de la función en el interior del intervalo, por ejemplo en $x=1$: $$f(1) = 1^3 - 4(1) = -3 \lt 0$$ Como la función es negativa en todo el intervalo $(0,2)$, la gráfica queda por debajo del eje $OX$ y el área será el valor absoluto de la integral definida. 💡 **Tip:** El área siempre es una cantidad positiva. Si la función es negativa, el área es $\left| \int_a^b f(x) \, dx \right|$ o $\int_a^b -f(x) \, dx$.

Planteamos la integral definida para hallar el área $A$: $$A = \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx \right|$$ Calculamos primero la integral indefinida (primitiva): $$\int (x^3 - 4x) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^2}{2} = \frac{x^4}{4} - 2x^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0,2]$: $$\int_{0}^{2} (x^3 - 4x) \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_0^2$$ $$= \left( \frac{2^4}{4} - 2(2^2) \right) - \left( \frac{0^4}{4} - 2(0^2) \right)$$ $$= \left( \frac{16}{4} - 8 \right) - 0 = 4 - 8 = -4$$ Como el área es el valor absoluto: $$A = |-4| = 4 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{A = 4 \text{ unidades cuadradas}}$$

**b) Calcular $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1}$. (1 punto)** Primero evaluamos el límite directamente para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = \frac{\ln 1}{1-1} = \frac{0}{0}$$ Al obtener la indeterminación $\frac{0}{0}$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ - Derivada del denominador: $(x-1)' = 1$ Aplicamos la regla: $$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$$ Ahora volvemos a evaluar el límite sustituyendo $x=1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{1}{x} = \frac{1}{1} = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital solo se aplica si el límite presenta la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$. ✅ **Resultado (límite):** $$\boxed{\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1}$$