Estudio de asíntotas, extremos y curvatura de una función racional

**a) Determinar el dominio y, si existen, sus asíntotas. (1,5 puntos)** La función $f(x) = \frac{x^2+1}{x}$ es una función racional. El dominio de una función racional es todo $\mathbb{R}$ excepto los valores que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x = 0$$ Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el cero. 💡 **Tip:** Siempre que tengas una fracción, el dominio excluye los puntos donde el denominador se hace cero. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

Para buscar asíntotas verticales (AV), analizamos los puntos fuera del dominio, en este caso $x = 0$. Calculamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 0^-} \frac{x^2+1}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2+1}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ Como al menos uno de los límites laterales es infinito, existe una asíntota vertical en el punto indicado. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 0}$$

**Asíntotas horizontales (AH):** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x} = \pm\infty$$ Al ser el límite infinito, **no existen asíntotas horizontales**. **Asíntotas oblicuas (AO):** Como el grado del numerador ($2$) es exactamente uno más que el del denominador ($1$), existe una asíntota oblicua de la forma $y = mx + n$. 1. Hallamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1}{x^2} = 1$$ 2. Hallamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2+1}{x} - 1 \cdot x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1-x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$$ 💡 **Tip:** También puedes obtener la AO realizando la división polinómica: $\frac{x^2+1}{x} = x + \frac{1}{x}$. El cociente $x$ es la recta asíntota. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = x}$$

**b) Determinar los extremos relativos y los puntos de inflexión de la misma, si es que existen. (1 punto)** Para hallar los extremos relativos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x) \cdot x - (x^2+1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2-1}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies \frac{x^2-1}{x^2} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$$ Los posibles extremos son $x = -1$ y $x = 1$.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos y el punto de discontinuidad ($x=0$): $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,0) & 0 & (0,1) & 1 & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ Calculamos las ordenadas de los puntos: - Para $x = -1$: $f(-1) = \frac{(-1)^2+1}{-1} = -2 \implies \mathbf{Máximo\,(-1, -2)}$ - Para $x = 1$: $f(1) = \frac{1^2+1}{1} = 2 \implies \mathbf{Mínimo\,(1, 2)}$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo: } (-1, -2), \quad \text{Mínimo relativo: } (1, 2)}$$

Para hallar los puntos de inflexión y estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada $f''(x)$: $$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = 1 - x^{-2}$$ $$f''(x) = 0 - (-2)x^{-3} = \frac{2}{x^3}$$ Buscamos puntos donde $f''(x) = 0$: $$\frac{2}{x^3} = 0 \implies 2 \neq 0$$ Como la ecuación no tiene solución, **no existen puntos de inflexión**. Estudiamos el signo de $f''(x)$ para la curvatura: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \\ \hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava (hacia abajo)} & \nexists & \text{Convexa (hacia arriba)} \end{array}$$ ✅ **Resultado (Puntos Inflexión):** $$\boxed{\text{No existen puntos de inflexión}}$$