Punto de una recta para que el vector sea paralelo a un plano

Para encontrar un punto $B$ que pertenece a la recta $r$, lo más sencillo es expresar dicha recta en sus ecuaciones paramétricas. Dada la recta en forma continua: $$r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{1} = \frac{z+1}{4}$$ Igualamos cada fracción a un parámetro $\lambda$: $$\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = -2 + \lambda \\ z = -1 + 4\lambda \end{cases}$$ Por tanto, cualquier punto $B$ de la recta $r$ tendrá la forma: $$\boxed{B(1+2\lambda, -2+\lambda, -1+4\lambda)}$$ 💡 **Tip:** Escribir una recta en paramétricas permite expresar las coordenadas de cualquier punto de la misma en función de una única variable, lo que simplifica mucho la resolución de problemas de intersecciones o distancias.

Calculamos el vector director de la recta que pasa por los puntos $A(3,5,-1)$ y $B(1+2\lambda, -2+\lambda, -1+4\lambda)$. El vector $\vec{AB}$ se obtiene restando las coordenadas de $B$ menos las de $A$: $$\vec{AB} = B - A = (1+2\lambda - 3, \, -2+\lambda - 5, \, -1+4\lambda - (-1))$$ $$\vec{AB} = (2\lambda - 2, \, \lambda - 7, \, 4\lambda)$$ Este vector representa la dirección de la recta que queremos que sea paralela al plano dado.

Para que la recta $AB$ sea paralela al plano $\pi \equiv 3x - 2y + z + 5 = 0$, su vector director $\vec{AB}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Identificamos el vector normal del plano a partir de sus coeficientes: $$\vec{n_\pi} = (3, -2, 1)$$ La condición de perpendicularidad entre vectores implica que su producto escalar debe ser cero: $$\vec{AB} \cdot \vec{n_\pi} = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es paralela a un plano, su vector director no 'atraviesa' el plano, por lo que es perpendicular al vector que 'sale' de él (el vector normal).

Calculamos el producto escalar e igualamos a cero: $$(2\lambda - 2, \lambda - 7, 4\lambda) \cdot (3, -2, 1) = 0$$ $$3(2\lambda - 2) - 2(\lambda - 7) + 1(4\lambda) = 0$$ Desarrollamos los paréntesis: $$6\lambda - 6 - 2\lambda + 14 + 4\lambda = 0$$ Agrupamos términos semejantes: $$(6 - 2 + 4)\lambda + (-6 + 14) = 0$$ $$8\lambda + 8 = 0$$ $$8\lambda = -8 \implies \lambda = -1$$ El valor del parámetro que cumple la condición es $\lambda = -1$.

Sustituimos el valor $\lambda = -1$ en las coordenadas genéricas del punto $B$ que definimos en el primer paso: $$B(1 + 2(-1), \, -2 + (-1), \, -1 + 4(-1))$$ $$B(1 - 2, \, -2 - 1, \, -1 - 4)$$ $$B(-1, \, -3, \, -5)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{B(-1, -3, -5)}$$