Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetro

**a) Encontrar "$m$" para que el sistema tenga infinitas soluciones y calcularlas. (1,5 puntos)** Observamos que el sistema es **homogéneo** (todos los términos independientes son cero). Un sistema homogéneo siempre es compatible, teniendo al menos la solución trivial $(0, 0, 0)$. Para que tenga infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado), el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser menor que el número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre cuando el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero. Definimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & m \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 4 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & m \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot m) + (-1 \cdot 3 \cdot 1) + (4 \cdot 1 \cdot -1) - [4 \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \cdot m + 3 \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$|A| = m - 3 - 4 - (4 - m - 3) = m - 7 - (1 - m) = m - 7 - 1 + m = 2m - 8$$ 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo $AX = 0$, si $|A| \neq 0$ el sistema es Compatible Determinado (solo solución trivial). Si $|A| = 0$, el sistema es Compatible Indeterminado (infinitas soluciones).

Para que el sistema tenga infinitas soluciones, imponemos $|A| = 0$: $$2m - 8 = 0 \implies 2m = 8 \implies m = 4$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, si $m=4$, el $Rg(A) < 3$ (número de incógnitas), por lo que el sistema tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado (valor de m):** $$\boxed{m=4}$$

Sustituimos $m=4$ en el sistema: $$\begin{cases} x-y+4z=0 \\ x+y+3z=0 \\ x-y+4z=0 \end{cases}$$ Observamos que la primera y la tercera ecuación son idénticas, por lo que podemos prescindir de una de ellas. El sistema queda: $$\begin{cases} x-y+4z=0 \\ x+y+3z=0 \end{cases}$$ Para resolverlo, pasamos una variable al otro miembro (por ejemplo, $z = \lambda$) y resolvemos el sistema de 2x2 resultante: $$\begin{cases} x-y = -4\lambda \\ x+y = -3\lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones: $$2x = -7\lambda \implies x = -\frac{7}{2}\lambda$$ Restamos la primera de la segunda: $$(x+y) - (x-y) = -3\lambda - (-4\lambda) \implies 2y = \lambda \implies y = \frac{1}{2}\lambda$$ 💡 **Tip:** Puedes elegir cualquier variable como parámetro $\lambda$, pero $z$ suele ser la más cómoda. ✅ **Soluciones para m = 4:** $$\boxed{\begin{cases} x = -\frac{7}{2}\lambda \\ y = \frac{1}{2}\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Resolverlo para $m=1$. (1 punto)** Si $m=1$, recuperamos el valor del determinante calculado en el apartado anterior: $$|A| = 2m - 8 = 2(1) - 8 = -6$$ Como $|A| = -6 \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es 3, que coincide con el número de incógnitas. Por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado**. Al ser un sistema homogéneo, la única solución posible es la **solución trivial**. $$x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0$$ 💡 **Tip:** No es necesario aplicar la regla de Cramer en sistemas homogéneos si el determinante es distinto de cero; la solución siempre será el vector nulo. ✅ **Resultado (solución para m = 1):** $$\boxed{x=0, \; y=0, \; z=0}$$