Distribución Normal: Respuesta de test diagnóstico

**a) ¿En qué porcentaje de test se obtiene el resultado entre 16 y 26 minutos? (1 punto)** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ que representa el tiempo empleado en minutos para obtener la respuesta del test. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal de media $\mu = 20$ y desviación típica $\sigma = 4$: $$X \sim N(20, 4)$$ Para realizar cálculos, debemos tipificar la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ utilizando la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 20}{4}$$ 💡 **Tip:** La tipificación permite usar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$ para cualquier distribución normal $N(\mu, \sigma)$.

Queremos calcular la probabilidad de que el tiempo esté entre 16 y 26 minutos, es decir, $p(16 \le X \le 26)$. Tipificamos los valores del intervalo: - Para $x = 16 \implies z = \frac{16 - 20}{4} = -1$ - Para $x = 26 \implies z = \frac{26 - 20}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$ Por tanto: $$p(16 \le X \le 26) = p(-1 \le Z \le 1.5)$$ Utilizamos las propiedades de la probabilidad de la normal: $$p(-1 \le Z \le 1.5) = p(Z \le 1.5) - p(Z \le -1)$$ Como la tabla no suele incluir valores negativos, usamos la simetría: $p(Z \le -1) = 1 - p(Z \le 1)$. $$p(-1 \le Z \le 1.5) = p(Z \le 1.5) - (1 - p(Z \le 1))$$ Buscamos los valores en la tabla $N(0,1)$: - $p(Z \le 1.5) = 0.9332$ - $p(Z \le 1) = 0.8413$ Sustituimos: $$0.9332 - (1 - 0.8413) = 0.9332 - 0.1587 = 0.7745$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área total bajo la curva normal es 1. La simetría respecto al eje central permite calcular colas izquierdas negativas a partir de las derechas positivas.

Para obtener el porcentaje, multiplicamos la probabilidad obtenida por 100: $$\text{Porcentaje} = 0.7745 \cdot 100 = 77.45\%$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{77.45\%}$$

**b) ¿Cuántos minutos son necesarios para garantizar que se ha obtenido la respuesta del 96.41% de los test? (1 punto)** En este apartado nos piden encontrar un valor $k$ de tiempo tal que la probabilidad acumulada hasta ese punto sea 0.9641 (que corresponde al $96.41\%$). Planteamos la ecuación: $$p(X \le k) = 0.9641$$ Tipificamos la variable $k$: $$p\left(Z \le \frac{k - 20}{4}\right) = 0.9641$$ Buscamos el valor $0.9641$ en el interior de la tabla de la distribución normal estándar $N(0, 1)$. Encontramos que el valor de $Z$ que deja esa área a su izquierda es: $$z = 1.8$$ 💡 **Tip:** Cuando nos dan el porcentaje o probabilidad y piden el valor de la variable, realizamos una búsqueda inversa en la tabla.

Igualamos el valor tipificado obtenido de la tabla con la expresión de $z$: $$\frac{k - 20}{4} = 1.8$$ Despejamos $k$: $$k - 20 = 1.8 \cdot 4$$ $$k - 20 = 7.2$$ $$k = 27.2$$ Por tanto, son necesarios 27.2 minutos para garantizar el resultado del $96.41\%$ de los test. ✅ **Resultado (Apartado b):** $$\boxed{27.2 \text{ minutos}}$$