Probabilidad en club deportivo: natación

**a) Describir los sucesos y sus probabilidades, y calcular la probabilidad de que un socio elegido al azar practique la natación. (1,25 puntos)** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $H$: El socio elegido es hombre. - $M$: El socio elegido es mujer. - $N$: El socio practica natación. - $\bar{N}$: El socio no practica natación. A partir de los datos del enunciado, establecemos las probabilidades iniciales y las condicionadas: - $P(H) = 0,55$ - $P(M) = 0,45$ - $P(N|H) = 0,60$ (Probabilidad de practicar natación sabiendo que es hombre) - $P(N|M) = 0,40$ (Probabilidad de practicar natación sabiendo que es mujer) Podemos representar esta situación mediante un **diagrama de árbol**:

Para hallar la probabilidad de que un socio practique natación, $P(N)$, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(N) = P(H) \cdot P(N|H) + P(M) \cdot P(N|M)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(N) = 0,55 \cdot 0,60 + 0,45 \cdot 0,40$$ $$P(N) = 0,33 + 0,18 = 0,51$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (practicar natación) puede ocurrir a través de varios caminos disjuntos (ser hombre o ser mujer). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(N) = 0,51}$$

**b) Sabiendo que una persona practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? (0,75 puntos)** Nos piden calcular la probabilidad de que el socio sea mujer dado que sabemos que practica natación, es decir, $P(M|N)$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|N) = \frac{P(M \cap N)}{P(N)} = \frac{P(M) \cdot P(N|M)}{P(N)}$$ Utilizamos los valores obtenidos anteriormente: - $P(M \cap N) = 0,45 \cdot 0,40 = 0,18$ - $P(N) = 0,51$ Sustituimos en la fórmula: $$P(M|N) = \frac{0,18}{0,51} = \frac{18}{51}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 3: $$P(M|N) = \frac{6}{17} \approx 0,3529$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la probabilidad condicionada, pasando de conocer $P(N|M)$ a calcular $P(M|N)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|N) = \frac{6}{17} \approx 0,3529}$$