Cálculo de parámetros de un polinomio

Para hallar los valores de $a, b$ y $c$, utilizaremos las tres condiciones dadas. Empezamos por la primera: $P(0) = 1$. Sustituimos $x = 0$ en la expresión del polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$: $$P(0) = a(0)^2 + b(0) + c = 1$$ De aquí obtenemos directamente el valor de $c$: $$\boxed{c = 1}$$ 💡 **Tip:** Cuando un polinomio cumple $P(0) = k$, el término independiente del polinomio es siempre igual a ese valor $k$.

La segunda condición nos dice que la pendiente de la recta tangente en $x = 0$ es $m = 1$. Sabemos que la pendiente de la recta tangente en un punto viene dada por el valor de la derivada en dicho punto, es decir, $P'(0) = 1$. Primero, calculamos la derivada genérica de $P(x) = ax^2 + bx + c$: $$P'(x) = 2ax + b$$ Ahora, evaluamos en $x = 0$ e igualamos a $1$: $$P'(0) = 2a(0) + b = 1 \implies b = 1$$ Por tanto: $$\boxed{b = 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una función en un punto $x=x_0$ representa geométricamente la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

Con los valores de $b$ y $c$ ya conocidos, el polinomio es $P(x) = ax^2 + 1x + 1$. Utilizamos la tercera condición: $$\int_0^2 (ax^2 + x + 1) dx = 12$$ Calculamos la integral definida aplicando la **Regla de Barrow**: 1. Hallamos la primitiva: $$\int (ax^2 + x + 1) dx = \frac{ax^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$$ 2. Evaluamos en los límites de integración $[0, 2]$: $$\left[ \frac{ax^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x \right]_0^2 = 12$$ $$\left( \frac{a(2)^3}{3} + \frac{(2)^2}{2} + 2 \right) - \left( \frac{a(0)^3}{3} + \frac{(0)^2}{2} + 0 \right) = 12$$ $$\frac{8a}{3} + 2 + 2 = 12$$ 3. Resolvemos la ecuación para $a$: $$\frac{8a}{3} + 4 = 12 \implies \frac{8a}{3} = 8 \implies 8a = 24 \implies a = 3$$ $$\boxed{a = 3}$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$.

Finalmente, los valores buscados son: $$\boxed{a = 3, \quad b = 1, \quad c = 1}$$ El polinomio resultante es **$P(x) = 3x^2 + x + 1$**. A continuación, se muestra la representación gráfica de la función y el área bajo la curva calculada en el intervalo $[0, 2]$: