Área entre dos parábolas e inecuación

**a) Dadas las funciones $f(x) = x^2, g(x) = -x^2 + 8$, hallar los valores de $x \in \mathbb{R}$ para los que $g(x) \geq f(x)$. (0,5 puntos)** Planteamos la inecuación sustituyendo las expresiones de las funciones: $$-x^2 + 8 \geq x^2$$ Agrupamos los términos en un miembro para resolverla: $$8 \geq 2x^2 \implies 4 \geq x^2$$ Esto equivale a resolver $x^2 \leq 4$. Aplicando la raíz cuadrada en ambos lados (recordando que $\sqrt{x^2} = |x|$): $$|x| \leq 2 \implies -2 \leq x \leq 2$$ Por tanto, la desigualdad se cumple en el intervalo cerrado donde la parábola cóncava ($g$) está por encima de la convexa ($f$). 💡 **Tip:** Al resolver $x^2 \leq a$, la solución siempre es el intervalo $[-\sqrt{a}, \sqrt{a}]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x \in [-2, 2]}$$

**b) Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$. (1,5 puntos)** Para calcular el área, primero necesitamos conocer los puntos donde ambas gráficas se cortan. Igualamos $f(x) = g(x)$: $$x^2 = -x^2 + 8 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4$$ Las soluciones son: $$x_1 = -2, \quad x_2 = 2$$ Como hemos visto en el apartado anterior, en el intervalo $[-2, 2]$, se cumple que $g(x) \geq f(x)$, por lo que la función "techo" es $g(x)$ y la función "suelo" es $f(x)$. 💡 **Tip:** El área entre dos curvas se calcula como la integral de la función superior menos la inferior: $\int_{a}^{b} (f_{superior}(x) - f_{inferior}(x)) \, dx$.

Planteamos la integral definida entre los límites de corte encontrados: $$A = \int_{-2}^{2} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 8 - x^2) \, dx = \int_{-2}^{2} (-2x^2 + 8) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-2x^2 + 8) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + 8x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 8x \right]_{-2}^{2}$$ $$A = \left( -\frac{2(2)^3}{3} + 8(2) \right) - \left( -\frac{2(-2)^3}{3} + 8(-2) \right)$$ $$A = \left( -\frac{16}{3} + 16 \right) - \left( \frac{16}{3} - 16 \right)$$ $$A = \left( \frac{-16+48}{3} \right) - \left( \frac{16-48}{3} \right) = \frac{32}{3} - \left( -\frac{32}{3} \right) = \frac{64}{3} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Dado que ambas funciones son simétricas respecto al eje $Y$ (son funciones pares), se podría haber calculado el área como $2 \cdot \int_{0}^{2} (-2x^2 + 8) \, dx$, lo que simplifica los cálculos con el cero. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{64}{3} \approx 21,33 \text{ u}^2}$$