Cálculo de un límite mediante la regla de L'Hôpital

Para calcular el límite, primero evaluamos la función en el punto $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - \cos(3x)}{\operatorname{sen}^2(x)} = \frac{e^0 - 0 - \cos(0)}{\operatorname{sen}^2(0)} = \frac{1 - 0 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una **indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$**. Al tratarse de un cociente de funciones derivables en el entorno de $0$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital nos permite resolver límites de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ derivando el numerador y el denominador por separado.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $(e^x - x - \cos(3x))' = e^x - 1 - (-\operatorname{sen}(3x) \cdot 3) = e^x - 1 + 3\operatorname{sen}(3x)$. - Derivada del denominador: $(\operatorname{sen}^2(x))' = 2\operatorname{sen}(x)\cos(x) = \operatorname{sen}(2x)$. Aplicamos la regla: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - \cos(3x)}{\operatorname{sen}^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 + 3\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(2x)}$$ Evaluamos de nuevo en $x = 0$: $$\frac{e^0 - 1 + 3\operatorname{sen}(0)}{\operatorname{sen}(0)} = \frac{1 - 1 + 0}{0} = \frac{0}{0}$$ Persiste la indeterminación **$\frac{0}{0}$**, por lo que debemos aplicar la regla de L'Hôpital por segunda vez. 💡 **Tip:** En el denominador, hemos usado la identidad trigonométrica $2\operatorname{sen}(x)\cos(x) = \operatorname{sen}(2x)$ para simplificar el paso siguiente, aunque también se podría derivar como un producto.

Derivamos de nuevo el numerador y el denominador resultantes: - Nueva derivada del numerador: $(e^x - 1 + 3\operatorname{sen}(3x))' = e^x + 3\cos(3x) \cdot 3 = e^x + 9\cos(3x)$. - Nueva derivada del denominador: $(\operatorname{sen}(2x))' = 2\cos(2x)$. Aplicamos la regla de nuevo: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 + 3\operatorname{sen}(3x)}{\operatorname{sen}(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + 9\cos(3x)}{2\cos(2x)}$$ 💡 **Tip:** ¡Cuidado con la regla de la cadena! Al derivar $\operatorname{sen}(3x)$ obtenemos $3\cos(3x)$, y al derivar $\operatorname{sen}(2x)$ obtenemos $2\cos(2x)$.

Ahora evaluamos el límite final sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 9\cos(3x)}{2\cos(2x)} = \frac{e^0 + 9\cos(0)}{2\cos(0)} = \frac{1 + 9\cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5$$ El límite converge a un valor finito, por lo que el proceso ha terminado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - \cos(3x)}{\operatorname{sen}^2(x)} = 5}$$