Estudio y representación de la función exponencial e^(x^2)

**Representar la función $f(x) = e^{(x^2)}$, determinando antes sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas.** Primero, determinamos el dominio de la función. Como el exponente $x^2$ es un polinomio definido en todos los reales y la función exponencial $e^u$ también lo está, el dominio es: $$\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$$ **Asíntotas Verticales (AV):** Al ser una función continua en todo $\mathbb{R}$, no existen valores de $x$ donde la función tienda a infinito. Por tanto, **no hay asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos los límites en el infinito: $$\lim_{x \to +\infty} e^{x^2} = e^{+\infty} = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} e^{x^2} = e^{(-\infty)^2} = e^{+\infty} = +\infty$$ Como los límites son infinitos, **no hay asíntotas horizontales**. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Buscamos una recta de la forma $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{e^{x^2}}{x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2xe^{x^2}}{1} = \pm\infty$$ Al ser el límite infinito, **no hay asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Si una función tiene un crecimiento mucho más rápido que una recta (como las exponenciales con exponente de grado mayor o igual a 1), generalmente no presentará asíntotas oblicuas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No tiene asíntotas (Verticales, Horizontales ni Oblicuas)}}$$

Para hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada aplicando la regla de la cadena: $$f'(x) = e^{x^2} \cdot (x^2)' = 2x e^{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$2x e^{x^2} = 0$$ Como $e^{x^2} \gt 0$ para cualquier $x \in \mathbb{R}$, la única solución es: $$2x = 0 \implies x = 0$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por este punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline 2x & - & 0 & + \\ e^{x^2} & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \text{Monotonía} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, $f'(x) \lt 0 \implies f$ es **decreciente**. - En $(0, +\infty)$, $f'(x) \gt 0 \implies f$ es **creciente**. Al haber un cambio de decreciente a creciente en $x = 0$, existe un **mínimo relativo** en: $$f(0) = e^{0^2} = e^0 = 1 \implies \text{Mínimo en } (0, 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la función exponencial $e^u$ siempre es positiva, por lo que el signo de $f'(x)$ depende exclusivamente del factor $2x$.

Para estudiar la concavidad y convexidad, calculamos la segunda derivada usando la regla del producto: $$f''(x) = (2x)' \cdot e^{x^2} + 2x \cdot (e^{x^2})'$$ $$f''(x) = 2 \cdot e^{x^2} + 2x \cdot (2x e^{x^2}) = 2e^{x^2} + 4x^2 e^{x^2}$$ Factorizamos: $$f''(x) = 2e^{x^2}(1 + 2x^2)$$ Buscamos los puntos de inflexión igualando $f''(x) = 0$: $$2e^{x^2}(1 + 2x^2) = 0$$ - Sabemos que $2e^{x^2} \gt 0$ siempre. - El factor $(1 + 2x^2)$ no tiene raíces reales (ya que $2x^2 = -1$ no es posible). Por tanto, $f''(x) \gt 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. $$\begin{array}{c|c} x & (-\infty, +\infty) \\ \hline f''(x) & + \\ \text{Curvatura} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ La función es **convexa** (cóncava hacia arriba) en todo su dominio y **no tiene puntos de inflexión**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Convexa en } \mathbb{R}. \text{ Sin puntos de inflexión.}}$$

Con los datos obtenidos, podemos representar la función: 1. Es una función **par** (simétrica respecto al eje $Y$) ya que $f(-x) = e^{(-x)^2} = e^{x^2} = f(x)$. 2. Tiene un **mínimo absoluto** en $(0, 1)$. 3. Siempre es **convexa**. 4. Crece rápidamente hacia $+\infty$ cuando $x \to \pm\infty$. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = e^{x^2}", "color": "#2563eb" }, { "id": "min", "latex": "(0,1)", "color": "#ef4444", "label": "Mínimo (0,1)" } ], "bounds": { "left": -3, "right": 3, "bottom": -1, "top": 10 } } }