Plano que contiene a una recta y pasa por un punto

Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (que no sean paralelos), o bien un punto y un vector normal. Como el plano $\pi$ contiene a la recta $r$, podemos extraer de su ecuación continua $\frac{x+1}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{-2}$ un punto $A_r$ y su vector director $\vec{v}_r$: - Punto de la recta: **$A_r = (-1, 2, 0)$** - Vector director de la recta: **$\vec{v}_r = (-1, 1, -2)$** 💡 **Tip:** En la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para determinar el plano $\pi$, utilizaremos: 1. El punto $P(0, 0, 0)$ por el que nos dicen que pasa el plano. 2. El vector director de la recta: $\vec{v}_1 = \vec{v}_r = (-1, 1, -2)$. 3. Un segundo vector director $\vec{v}_2$ que vaya desde el punto $P$ hasta el punto $A_r$ de la recta (o viceversa). Calculamos $\vec{v}_2 = \vec{PA_r}$: $$\vec{v}_2 = A_r - P = (-1 - 0, 2 - 0, 0 - 0) = (-1, 2, 0)$$ Comprobamos que $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$ no son proporcionales: $$\frac{-1}{-1} \neq \frac{1}{2} \neq \frac{-2}{0}$$ Como no son proporcionales, los vectores definen correctamente el plano.

Aquí podemos observar cómo el plano $\pi$ se construye a partir del punto $P$ y los dos vectores directores obtenidos.

La ecuación general del plano $\pi$ se obtiene resolviendo el determinante formado por un punto genérico $(x, y, z)$, el punto $P(0, 0, 0)$ y los vectores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ -1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \\ \end{vmatrix} = 0$$ $$\begin{vmatrix} x & y & z \\ -1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \\ \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante (por la regla de Sarrus): $$x \cdot \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos cada término: - $x \cdot (1 \cdot 0 - (-2) \cdot 2) = x \cdot (0 + 4) = 4x$ - $-y \cdot ((-1) \cdot 0 - (-2) \cdot (-1)) = -y \cdot (0 - 2) = 2y$ - $z \cdot ((-1) \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = z \cdot (-2 + 1) = -z$ Sumamos los resultados: $$4x + 2y - z = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el plano pasa por el origen $(0,0,0)$, el término independiente $D$ de la ecuación $Ax+By+Cz+D=0$ debe ser cero. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{4x + 2y - z = 0}$$