Recta perpendicular a un plano y plano de simetría

**a) Hallar la recta perpendicular al plano $\pi \equiv x + y + z = 1$ que pasa por el punto $A = (0,0,0)$. (0,8 puntos)** Para que una recta $r$ sea perpendicular a un plano $\pi$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser paralelo al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Del plano $\pi \equiv x + y + z = 1$, extraemos los coeficientes de las variables para obtener el vector normal: $$\vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$$ Por tanto, tomamos como vector director de nuestra recta: $$\vec{v}_r = \vec{n}_\pi = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es siempre $\vec{n} = (A, B, C)$.

Utilizamos el punto dado $A = (0,0,0)$ y el vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ para escribir la ecuación de la recta. La forma más sencilla es la paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 0 + 1 \cdot t \\ y = 0 + 1 \cdot t \\ z = 0 + 1 \cdot t \end{cases} \implies r \equiv \begin{cases} x = t \\ y = t \\ z = t \end{cases} \quad \forall t \in \mathbb{R}$$ También podemos expresarla en forma continua: $$\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1} \implies x = y = z$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{r \equiv x = y = z}$$

**b) Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos $P = (1,1,1)$ y $Q = (1,3, -1)$ son simétricos. (1,2 puntos)** Si dos puntos $P$ y $Q$ son simétricos respecto a un plano $\sigma$, dicho plano debe cumplir dos condiciones: 1. Es perpendicular al segmento $PQ$ (por lo que el vector $\vec{PQ}$ es el vector normal del plano). 2. Pasa por el punto medio del segmento $PQ$, al que llamaremos $M$. Este plano se conoce técnicamente como **plano mediador** del segmento $PQ$.

El punto medio $M$ se calcula promediando las coordenadas de $P=(1,1,1)$ y $Q=(1,3,-1)$: $$M = \left( \frac{x_P + x_Q}{2}, \frac{y_P + y_Q}{2}, \frac{z_P + z_Q}{2} \right)$$ $$M = \left( \frac{1 + 1}{2}, \frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{4}{2}, \frac{0}{2} \right) = (1, 2, 0)$$ 💡 **Tip:** El punto medio es el punto equidistante de $P$ y $Q$, y es donde el 'espejo' (plano) corta al segmento.

El vector normal del plano $\vec{n}_\sigma$ es el vector que une $P$ y $Q$: $$\vec{PQ} = Q - P = (1 - 1, 3 - 1, -1 - 1) = (0, 2, -2)$$ Podemos simplificar el vector director (ya que solo nos importa su dirección) dividiendo por $2$: $$\vec{n}_\sigma = (0, 1, -1)$$

La ecuación de un plano con vector normal $(A, B, C)$ que pasa por $(x_0, y_0, z_0)$ es: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ Sustituimos el vector normal $\vec{n}_\sigma = (0, 1, -1)$ y el punto $M = (1, 2, 0)$: $$0(x - 1) + 1(y - 2) - 1(z - 0) = 0$$ $$y - 2 - z = 0$$ $$y - z = 2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma \equiv y - z - 2 = 0}$$