Invertibilidad y ecuaciones matriciales

**a) Determinar los valores de $n$ para los que la matriz $A^2$ tiene inversa. (1 punto)** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Por tanto, buscamos los valores de $n$ tales que $\det(A^2) \neq 0$. Utilizamos la propiedad de los determinantes que indica que el determinante del producto es el producto de los determinantes: $$\det(A^2) = \det(A \cdot A) = \det(A) \cdot \det(A) = [\det(A)]^2$$ De esta forma, $A^2$ tendrá inversa siempre que $\det(A) \neq 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $M$ es invertible (o regular) $\iff |M| \neq 0$. Además, $|A^k| = |A|^k$.

Calculamos el determinante de la matriz $A$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} n - 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (n - 1)(-1) - (0)(1) = -(n - 1) = 1 - n$$ Para que $A^2$ tenga inversa, imponemos que el determinante sea distinto de cero: $$\det(A^2) \neq 0 \implies (1 - n)^2 \neq 0$$ $$1 - n \neq 0 \implies n \neq 1$$ Por lo tanto, la matriz $A^2$ tiene inversa para cualquier valor de $n$ perteneciente a los números reales excepto el 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \in \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**b) Para $n = 2$, hallar la matriz $X$ que verifica la ecuación $AX + A = 2I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. (1 punto)** Primero, sustituimos $n=2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 2 - 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora, despejamos la matriz $X$ de la ecuación $AX + A = 2I$: 1. Restamos $A$ en ambos miembros: $AX = 2I - A$ 2. Si $A$ tiene inversa, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda: $X = A^{-1}(2I - A)$ Comprobamos si $A$ es invertible para $n=2$: $$\det(A) = 1 - 2 = -1 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, existe $A^{-1}$ y podemos proceder. 💡 **Tip:** Al despejar matrices, el orden de la multiplicación es fundamental ya que el producto de matrices no es conmutativo. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo por la izquierda en el otro.

Calculamos el término de la derecha de la ecuación, que llamaremos matriz $B$: $$B = 2I - A = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & 0-0 \\ 0-1 & 2-(-1) \end{pmatrix}$$ $$\boxed{B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}}$$

Calculamos $A^{-1}$ mediante la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)^t$. Ya sabemos que $\det(A) = -1$. Calculamos la matriz de adjuntos: - $Adj(a_{11}) = +(-1) = -1$ - $Adj(a_{12}) = -(1) = -1$ - $Adj(a_{21}) = -(0) = 0$ - $Adj(a_{22}) = +(1) = 1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En este caso particular, la matriz $A$ es su propia inversa ($A = A^{-1}$), lo que ocurre cuando $A^2 = I$.

Sustituimos los valores obtenidos en la expresión despejada $X = A^{-1}B$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(1 \cdot 1) + (0 \cdot -1) = 1$ ; $(1 \cdot 0) + (0 \cdot 3) = 0$ - Fila 2: $(1 \cdot 1) + (-1 \cdot -1) = 1 + 1 = 2$ ; $(1 \cdot 0) + (-1 \cdot 3) = -3$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}}$$