Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetros

**a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente:** $$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \\ x + y + \lambda z = 0 \end{cases}$$ En primer lugar, observamos que se trata de un **sistema homogéneo**, ya que todos los términos independientes son cero. Esto significa que el sistema siempre será compatible (tendrá, al menos, la solución trivial $x=0, y=0, z=0$). Escribimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{pmatrix}$$ Como el sistema es homogéneo, la matriz ampliada $A^*$ no añade información relevante para el rango, ya que la columna de ceros no lo altera: $rg(A) = rg(A^*)$. 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible. Solo nos queda discernir si es determinado (solución única) o indeterminado (infinitas soluciones).

Para estudiar el rango de $A$ en función de $\lambda$, calculamos su determinante mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & \lambda \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot \lambda) + ((-1) \cdot (-1) \cdot 1) + (2 \cdot 1 \cdot 1) - [ (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot (-1) \cdot (-1)) + (2 \cdot (-1) \cdot \lambda) ]$$ $$|A| = (\lambda + 1 + 2) - (1 + 1 - 2\lambda)$$ $$|A| = \lambda + 3 - (2 - 2\lambda) = \lambda + 3 - 2 + 2\lambda = 3\lambda + 1$$ *(Revisión del cálculo: $\lambda + 1 + 2 - (1 + 1 - 2\lambda) = \lambda + 3 - 2 + 2\lambda = 3\lambda + 1$)*. *Nota: Re-calculando cuidadosamente:* Diagonal principal: $1\cdot 1\cdot \lambda = \lambda$; $(-1)\cdot(-1)\cdot 1 = 1$; $2\cdot 1 \cdot 1 = 2$. Suma = $\lambda + 3$. Diagonal secundaria: $1\cdot 1 \cdot 1 = 1$; $(-1)\cdot 2 \cdot \lambda = -2\lambda$; $1\cdot (-1) \cdot 1 = -1$. Suma = $-2\lambda$. $$|A| = (\lambda + 3) - (-2\lambda) = 3\lambda + 3$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar el valor crítico: $$3\lambda + 3 = 0 \implies 3\lambda = -3 \implies \lambda = -1$$ 💡 **Tip:** El determinante nos indica cuándo el rango de la matriz es máximo (en este caso, 3).

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** analizando los dos casos posibles: **Caso 1: $\lambda \neq -1$** En este caso, $|A| \neq 0$. Por tanto, el rango de la matriz $A$ es 3 ($rg(A) = 3$). Como el número de incógnitas también es 3, se cumple que: $$rg(A) = rg(A^*) = 3 = \text{nº incógnitas}$$ El sistema es un **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. Al ser homogéneo, su única solución es la trivial: **$(0, 0, 0)$**. **Caso 2: $\lambda = -1$** Si $\lambda = -1$, entonces $|A| = 0$, por lo que $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0$$ Por tanto, $rg(A) = 2$. Como el sistema es homogéneo, $rg(A^*) = 2$. Como el rango es menor que el número de incógnitas ($2 < 3$): $$rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt \text{nº incógnitas}$$ El sistema es un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. Tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } \lambda \neq -1: \text{SCD (Solución trivial)} \\ \text{Si } \lambda = -1: \text{SCI (Infinitas soluciones)} \end{cases}}$$

**b) Resolverlo para $\lambda = -1$. (0,8 puntos)** Para $\lambda = -1$, el sistema es: $$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \\ x + y - z = 0 \end{cases}$$ Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación (aquella que no forme parte del menor de orden 2 no nulo seleccionado anteriormente). Descartamos la tercera ecuación y nos quedamos con las dos primeras: $$\begin{cases} x - y + z = 0 \\ 2x + y - z = 0 \end{cases}$$ Pasamos la variable $z$ al otro lado como un parámetro ($z = \alpha$): $$\begin{cases} x - y = -\alpha \\ 2x + y = \alpha \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones directamente: $$(x + 2x) + (-y + y) = -\alpha + \alpha$$ $$3x = 0 \implies x = 0$$ Sustituimos $x = 0$ en la primera ecuación: $$0 - y = -\alpha \implies y = \alpha$$ 💡 **Tip:** Siempre que tengas un sistema compatible indeterminado, asigna un parámetro a una de las incógnitas (la que suele sobrar según el rango) y resuelve las demás en función de esta. ✅ **Resultado (Solución):** $$\boxed{x = 0, \quad y = \alpha, \quad z = \alpha \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$