Distribución Normal: Coeficiente Intelectual

**a) ¿Qué porcentaje de españoles adultos se espera que tengan un coeficiente intelectual entre 95 y 105? (1 punto)** Primero definimos la variable aleatoria que describe el problema: $X =$ "Coeficiente intelectual de un adulto español". Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal de media $\mu = 100$ y desviación típica $\sigma = 20$: $$X \sim N(100, 20)$$ Para calcular probabilidades en una normal cualquiera, debemos **tipificar** la variable para convertirla en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 100}{20}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que tipificar permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0, 1)$ que relacionan cada valor de $Z$ con su probabilidad acumulada.

Queremos hallar $P(95 \lt X \lt 105)$. Tipificamos los límites del intervalo: $$P(95 \lt X \lt 105) = P\left(\frac{95 - 100}{20} \lt Z \lt \frac{105 - 100}{20}\right)$$ $$= P\left(\frac{-5}{20} \lt Z \lt \frac{5}{20}\right) = P(-0,25 \lt Z \lt 0,25)$$ Aplicamos las propiedades de simetría de la distribución normal: $$P(-0,25 \lt Z \lt 0,25) = P(Z \lt 0,25) - P(Z \lt -0,25)$$ $$= P(Z \lt 0,25) - [1 - P(Z \lt 0,25)] = 2 \cdot P(Z \lt 0,25) - 1$$ Buscamos el valor $P(Z \lt 0,25)$ en la tabla de la normal $N(0, 1)$: $$P(Z \lt 0,25) = 0,5987$$ Sustituimos y calculamos: $$P = 2 \cdot 0,5987 - 1 = 1,1974 - 1 = 0,1974$$ Para dar el resultado en porcentaje, multiplicamos por 100. ✅ **Resultado:** $$\boxed{19,74\%}$$

**b) Si se considera que una persona es superdotada cuando su coeficiente intelectual es mayor que 160, calcular el porcentaje de españoles adultos que son superdotados. (1 punto)** En este caso, debemos calcular la probabilidad de que la variable sea mayor que 160, es decir, $P(X \gt 160)$. Tipificamos el valor: $$P(X \gt 160) = P\left(Z \gt \frac{160 - 100}{20}\right) = P\left(Z \gt \frac{60}{20}\right) = P(Z \gt 3)$$ Como las tablas suelen ofrecer la probabilidad acumulada hacia la izquierda ($P(Z \le k)$), usamos el suceso contrario: $$P(Z \gt 3) = 1 - P(Z \le 3)$$ Buscamos en la tabla el valor para $Z = 3,00$: $$P(Z \le 3) = 0,9987$$ Realizamos la resta: $$P = 1 - 0,9987 = 0,0013$$ 💡 **Tip:** Un valor de $Z=3$ indica que el dato está a 3 desviaciones típicas por encima de la media, lo cual es un valor muy extremo en una distribución normal. Convertimos a porcentaje multiplicando por 100: $$0,0013 \cdot 100 = 0,13\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0,13\%}$$