Probabilidad de bolas de madera y colores

Para resolver este ejercicio de probabilidad compuesta, lo primero es organizar la información proporcionada. Definimos los sucesos según el enunciado: - $B$: La bola es blanca. - $R$: La bola es roja. - $V$: La bola es verde. - $M$: La bola es de madera. - $\bar{M}$: La bola es de metacrilato (no madera). Extraemos las probabilidades directas y las condicionadas del enunciado: - $P(B) = 0,48$; $P(R) = 0,24$; $P(V) = 0,28$. - $P(M/B) = 2/3$. - $P(M/R) = 3/4 = 0,75$. - $P(M/V) = 1/2 = 0,5$. Representamos la situación en un diagrama de árbol: 💡 **Tip:** En un árbol de probabilidad, la suma de las probabilidades que parten de un mismo nodo debe ser siempre igual a 1.

**a) Indicar cuales son los valores de $P(M/B)$, $P(M/R)$ y $P(M/V)$. (0’3 puntos)** Estos valores se extraen directamente del enunciado, ya que indican la proporción de madera dentro de cada color: 1. Para las blancas: "dos tercios son de madera". Por tanto: $$P(M/B) = \frac{2}{3} \approx 0,6667$$ 2. Para las rojas: "las tres cuartas partes son de madera". Por tanto: $$P(M/R) = \frac{3}{4} = 0,75$$ 3. Para las verdes: "la mitad son de madera". Por tanto: $$P(M/V) = \frac{1}{2} = 0,5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M/B) = \frac{2}{3}, \quad P(M/R) = 0,75, \quad P(M/V) = 0,5}$$

**b) Calcular la probabilidad de que al sacar al azar una de las bolas de la caja, sea de madera. (0’7 puntos)** Para calcular la probabilidad de que una bola sea de madera $P(M)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de obtener madera a través de cada uno de los colores posibles: $$P(M) = P(B) \cdot P(M/B) + P(R) \cdot P(M/R) + P(V) \cdot P(M/V)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(M) = 0,48 \cdot \left(\frac{2}{3}\right) + 0,24 \cdot \left(\frac{3}{4}\right) + 0,28 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)$$ Calculamos cada término: - $P(B \cap M) = 0,48 \cdot \frac{2}{3} = 0,32$ - $P(R \cap M) = 0,24 \cdot 0,75 = 0,18$ - $P(V \cap M) = 0,28 \cdot 0,5 = 0,14$ Sumamos los resultados: $$P(M) = 0,32 + 0,18 + 0,14 = 0,64$$ 💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes que forman una partición del espacio muestral. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M) = 0,64}$$

**c) Si solo sabemos que una de las bolas de la caja, elegida al azar, es de madera, ¿cual es la probabilidad de que sea blanca? (1 punto)** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: sabiendo que la bola es de madera ($M$), ¿cuál es la probabilidad de que provenga del grupo de las blancas ($B$)? Es decir, calculamos $P(B/M)$. Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(B/M) = \frac{P(B \cap M)}{P(M)} = \frac{P(B) \cdot P(M/B)}{P(M)}$$ Ya conocemos los valores necesarios de los pasos anteriores: - $P(B \cap M) = 0,32$ - $P(M) = 0,64$ Sustituimos: $$P(B/M) = \frac{0,32}{0,64} = 0,5$$ Esto significa que hay un 50% de probabilidades de que la bola sea blanca si sabemos que es de madera. 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la condicionalidad: pasamos de conocer $P(\text{Efecto}|\text{Causa})$ a calcular $P(\text{Causa}|\text{Efecto})$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B/M) = 0,5}$$