Existencia y unicidad de raíces: Teorema de Bolzano

**a) Demostrar que la ecuación $f(x) = 0$ tiene al menos una solución en el intervalo $[0,\pi/2]$. (1 punto)** Para demostrar la existencia de al menos una solución (raíz) de la ecuación $f(x)=0$ en un intervalo cerrado, utilizaremos el **Teorema de Bolzano**. 1. **Continuidad:** La función $f(x) = x - \cos(x)$ es la diferencia de dos funciones continuas en todo $\mathbb{R}$ (una función polinómica y una función trigonométrica). Por tanto, $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[0, \pi/2]$. 2. **Signo en los extremos:** Calculamos el valor de la función en los extremos del intervalo: - En $x = 0$: $$f(0) = 0 - \cos(0) = 0 - 1 = -1 \lt 0$$ - En $x = \pi/2$: $$f(\pi/2) = \frac{\pi}{2} - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \gt 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de Bolzano requiere que la función sea continua en $[a, b]$ y que $f(a) \cdot f(b) \lt 0$ (signos opuestos).

Puesto que la función es continua en $[0, \pi/2]$ y toma valores de signo opuesto en los extremos ($f(0) \lt 0$ y $f(\pi/2) \gt 0$), Existe al menos un punto $c \in (0, \pi/2)$ tal que: $$f(c) = 0$$ Esto demuestra que la ecuación $x - \cos(x) = 0$ tiene, al menos, una solución en dicho intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\exists c \in (0, \pi/2) : f(c) = 0}$$

**b) Probar que la ecuación $f(x) = 0$ solo puede tener una solución en el intervalo $[0,\pi/2]$, de modo que la solución del apartado anterior es la única. (1 punto)** Para demostrar que la solución es única, estudiaremos la **monotonía** de la función a través de su primera derivada. Calculamos $f'(x)$: $$f(x) = x - \cos(x) \implies f'(x) = 1 - (-\sin(x)) = 1 + \sin(x)$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $[0, \pi/2]$: Sabemos que para cualquier $x \in [0, \pi/2]$, el seno es no negativo, es decir, $0 \le \sin(x) \le 1$. Entonces: $$f'(x) = 1 + \sin(x) \ge 1 \gt 0$$ Como $f'(x) \gt 0$ para todo $x$ en el intervalo, la función $f(x)$ es **estrictamente creciente** en $[0, \pi/2]$. 💡 **Tip:** Si una función continua es estrictamente monótona (siempre crece o siempre decrece), no puede cortar al eje $X$ en más de un punto.

Dado que la función es estrictamente creciente en el intervalo $[0, \pi/2]$, no puede tomar el mismo valor dos veces. Por tanto, si existe una raíz (como hemos demostrado en el apartado a), esta debe ser **única**. No puede haber dos valores distintos $x_1, x_2$ tales que $f(x_1) = f(x_2) = 0$, ya que eso contradiría el crecimiento estricto (o el Teorema de Rolle). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La solución es única en } [0, \pi/2]}$$