Continuidad con L'Hôpital e integración por partes

**a) Estudiar la continuidad de la función definida por $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x}, & \text{si } x \neq 0 \\ 0, & \text{si } x = 0 \end{cases}$. (1 punto)** Para que la función sea continua en $x = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Que exista $f(0)$. 2. Que exista el límite $\lim_{x \to 0} f(x)$. 3. Que ambos valores coincidan: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. En primer lugar, según la definición de la función: $$f(0) = 0$$ Para las ramas donde $x \neq 0$, la función es el cociente de una función trigonométrica y una polinómica, ambas continuas, por lo que el único punto de posible discontinuidad es el salto entre ramas en **$x = 0$**.

Calculamos el límite de la función cuando $x$ tiende a $0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$$ Al evaluar, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 0}{0} = \frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x)'}{(x)'} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{1}$$ Evaluamos el nuevo límite: $$\lim_{x \to 0} \sin x = \sin(0) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital se aplica cuando obtenemos límites de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Comparamos el valor del límite con el valor de la función en el punto: $$\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$$ Como el límite coincide con el valor de la función, $f(x)$ es continua en $x = 0$. Dado que para $x \neq 0$ la función también es continua por ser composición y cociente de funciones continuas (con denominador distinto de cero), concluimos que: ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

**b) Calcular $\int x \ln(x^2) dx$. (1 punto)** Utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos las partes siguiendo la regla ALPES (Logarítmicas antes que Polinómicas): Sea: - $u = \ln(x^2) \implies du = \frac{1}{x^2} \cdot 2x \, dx = \frac{2}{x} dx$ - $dv = x \, dx \implies v = \int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ 💡 **Tip:** La fórmula de integración por partes es $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Sustituimos en la fórmula: $$\int x \ln(x^2) dx = \ln(x^2) \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2}{x} dx$$ Simplificamos la expresión dentro de la integral: $$\int x \ln(x^2) dx = \frac{x^2}{2} \ln(x^2) - \int x \, dx$$ Resolvemos la integral restante: $$\int x \ln(x^2) dx = \frac{x^2}{2} \ln(x^2) - \frac{x^2}{2} + C$$ Podemos simplificar factorizando $\frac{x^2}{2}$: $$\int x \ln(x^2) dx = \frac{x^2}{2} (\ln(x^2) - 1) + C$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\int x \ln(x^2) dx = \frac{x^2}{2} \ln(x^2) - \frac{x^2}{2} + C}$$