Cálculo de límite con parámetro por L'Hôpital

**Calcular el valor de $m \gt 0$ para el cual se verifica que $\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(mx)}{x^2} = 2$. (2 puntos)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x$ por $0$ para comprobar si existe alguna indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(mx)}{x^2} = \frac{1-\cos(m \cdot 0)}{0^2} = \frac{1-\cos(0)}{0} = \frac{1-1}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$\frac{0}{0}$**. 💡 **Tip:** Cuando obtenemos una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ en un límite de funciones que son derivables en un entorno del punto, podemos aplicar la **Regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $(1-\cos(mx))' = 0 - (-\sin(mx) \cdot m) = m \sin(mx)$. - Derivada del denominador: $(x^2)' = 2x$. Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(mx)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{m \sin(mx)}{2x}$$ Si volvemos a evaluar en $x=0$: $$\frac{m \sin(m \cdot 0)}{2 \cdot 0} = \frac{m \cdot 0}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ La indeterminación **$\frac{0}{0}$** persiste, por lo que debemos aplicar la regla de L'Hôpital una vez más.

Derivamos nuevamente el numerador y el denominador del nuevo límite: - Derivada del numerador: $(m \sin(mx))' = m \cdot \cos(mx) \cdot m = m^2 \cos(mx)$. - Derivada del denominador: $(2x)' = 2$. El límite se convierte en: $$\lim_{x \to 0} \frac{m \sin(mx)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{m^2 \cos(mx)}{2}$$ Evaluamos ahora el límite resultante: $$\lim_{x \to 0} \frac{m^2 \cos(mx)}{2} = \frac{m^2 \cos(0)}{2} = \frac{m^2 \cdot 1}{2} = \frac{m^2}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\sin(f(x))$ es $f'(x) \cos(f(x))$ y la derivada de $\cos(f(x))$ es $-f'(x) \sin(f(x))$. En este caso, $f(x) = mx$, por lo que su derivada es $m$.

Según el enunciado, el valor del límite debe ser igual a $2$. Igualamos el resultado obtenido: $$\frac{m^2}{2} = 2$$ Despejamos el parámetro $m$: $$m^2 = 4 \implies m = \pm \sqrt{4} \implies m = \pm 2$$ Como el enunciado impone la condición de que **$m \gt 0$**, descartamos la solución negativa y nos quedamos con el valor positivo. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{m = 2}$$