Estudio completo de una función polinómica: Monotonía y Curvatura

**Dada la función $f(x) = x^5 - 5x - 1$, determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos...** Para estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) y los extremos relativos, primero calculamos la primera derivada de la función: $$f'(x) = 5x^4 - 5$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$5x^4 - 5 = 0 \implies 5x^4 = 5 \implies x^4 = 1$$ $$x = \pm \sqrt[4]{1} \implies x = 1, \quad x = -1$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos son aquellos donde la derivada es cero o no existe. En funciones polinómicas, el dominio es siempre $\mathbb{R}$ y basta con resolver $f'(x)=0$. $$\boxed{x_1 = -1, \quad x_2 = 1}$$

Dividimos la recta real en intervalos usando los puntos críticos encontrados ($x = -1$ y $x = 1$) y evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada intervalo: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,1) & 1 & (1,+\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & +\\\hline \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, tomamos $x = -2$: $f'(-2) = 5(-2)^4 - 5 = 75 \gt 0$ (**Creciente**). - En $(-1, 1)$, tomamos $x = 0$: $f'(0) = 5(0)^4 - 5 = -5 \lt 0$ (**Decreciente**). - En $(1, +\infty)$, tomamos $x = 2$: $f'(2) = 5(2)^4 - 5 = 75 \gt 0$ (**Creciente**). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty); \quad \text{Decrecimiento: } (-1, 1)}$$

A partir de la tabla anterior, identificamos los máximos y mínimos relativos calculando su coordenada $y$ mediante la función original $f(x) = x^5 - 5x - 1$: - En $x = -1$ hay un **máximo relativo**: $$f(-1) = (-1)^5 - 5(-1) - 1 = -1 + 5 - 1 = 3 \implies M(-1, 3)$$ - En $x = 1$ hay un **mínimo relativo**: $$f(1) = (1)^5 - 5(1) - 1 = 1 - 5 - 1 = -5 \implies m(1, -5)$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1, 3); \quad \text{Mínimo relativo en } (1, -5)}$$

**...sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de inflexión.** Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada partiendo de $f'(x) = 5x^4 - 5$: $$f''(x) = 20x^3$$ Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de inflexión: $$20x^3 = 0 \implies x^3 = 0 \implies x = 0$$ 💡 **Tip:** Un punto de inflexión es aquel donde la función cambia de curvatura. Para que sea punto de inflexión, $f''(x)$ debe ser 0 (o no existir) y cambiar de signo a su alrededor. $$\boxed{x = 0}$$

Evaluamos el signo de $f''(x) = 20x^3$ a ambos lados de $x = 0$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty)\\\hline f''(x) & - & 0 & +\\\hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava (hacia abajo)} & \text{Inflexión} & \text{Convexa (hacia arriba)} \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, tomamos $x = -1$: $f''(-1) = 20(-1)^3 = -20 \lt 0$ (**Cóncava**). - En $(0, +\infty)$, tomamos $x = 1$: $f''(1) = 20(1)^3 = 20 \gt 0$ (**Convexa**). Dado que hay un cambio de signo en $x = 0$, calculamos la ordenada para el **punto de inflexión**: $$f(0) = 0^5 - 5(0) - 1 = -1 \implies I(0, -1)$$ ✅ **Resultado (Curvatura e Inflexión):** $$\boxed{\text{Cóncava: } (-\infty, 0); \quad \text{Convexa: } (0, +\infty); \quad \text{P. Inflexión: } (0, -1)}$$