Planos: perpendicularidad y contención de rectas

Para resolver ambos apartados, primero debemos extraer un punto y el vector director de la recta $r$, que está dada en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ De la ecuación $x - 1 = \frac{y-2}{-1} = \frac{z-1}{2}$, identificamos: - Un punto de la recta: $P_r = (1, 2, 1)$ - El vector director: $\vec{v}_r = (1, -1, 2)$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una fracción no tiene denominador explícito (como en $x-1$), el denominador es $1$.

**a) Calcular el plano $\pi_1$ que pasa por $A = (1,2,3)$ y es perpendicular a la recta $r$.** Si el plano $\pi_1$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta, $\vec{v}_r$, será el vector normal del plano, $\vec{n}_1$. $$\vec{n}_1 = \vec{v}_r = (1, -1, 2)$$ La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$1x - 1y + 2z + D = 0 \implies x - y + 2z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $A(1, 2, 3)$, este debe verificar la ecuación: $$1 - 2 + 2(3) + D = 0$$ $$-1 + 6 + D = 0 \implies 5 + D = 0 \implies D = -5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi_1 \equiv x - y + 2z - 5 = 0}$$

**b) Calcular el plano $\pi_2$ que pasa por $B = (-1,1, -1)$ y contiene a la recta $r$.** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (no paralelos) contenidos en él. 1. Como el plano contiene a la recta $r$, contiene al punto $P_r(1, 2, 1)$ y al vector $\vec{v}_r(1, -1, 2)$. 2. Como el plano pasa por $B(-1, 1, -1)$, podemos obtener un segundo vector director uniendo $B$ con el punto $P_r$ de la recta: $$\vec{u} = \vec{BP_r} = P_r - B = (1 - (-1), 2 - 1, 1 - (-1)) = (2, 1, 2)$$ Ahora calculamos el vector normal $\vec{n}_2$ mediante el producto vectorial de los dos vectores directores: $\vec{n}_2 = \vec{v}_r \times \vec{u}$. 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta y a un punto exterior a ella, sus vectores directores son el de la recta y el formado por el punto exterior y un punto de la recta.

Calculamos el determinante para hallar el vector normal $\vec{n}_2$ usando la regla de Sarrus: $$\vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\vec{n}_2 = \vec{i}(-1 \cdot 2) + \vec{j}(2 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 1) - [\vec{k}(-1 \cdot 2) + \vec{i}(1 \cdot 2) + \vec{j}(1 \cdot 2)]$$ $$\vec{n}_2 = -2\vec{i} + 4\vec{j} + 1\vec{k} - [-2\vec{k} + 2\vec{i} + 2\vec{j}]$$ $$\vec{n}_2 = (-2-2)\vec{i} + (4-2)\vec{j} + (1+2)\vec{k}$$ $$\vec{n}_2 = (-4, 2, 3)$$ Este es nuestro vector normal $(A, B, C)$ para el plano $\pi_2$.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_2 = (-4, 2, 3)$ y el punto $B(-1, 1, -1)$: $$-4(x - (-1)) + 2(y - 1) + 3(z - (-1)) = 0$$ $$-4(x + 1) + 2(y - 1) + 3(z + 1) = 0$$ Expandimos los términos: $$-4x - 4 + 2y - 2 + 3z + 3 = 0$$ $$-4x + 2y + 3z - 3 = 0$$ Podemos multiplicar toda la ecuación por $-1$ para simplificar los signos: $$4x - 2y - 3z + 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi_2 \equiv 4x - 2y - 3z + 3 = 0}$$