Posición relativa de dos rectas y plano que las contiene

**a) Determinar la posición relativa de $r$ y $s$. (1 punto)** En primer lugar, extraemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$, que viene dada en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - 0}{1} = \frac{y - (-1)}{1} = \frac{z - 2}{2}$$ De aquí identificamos directamente: - Un punto de $r$: $P_r(0, -1, 2)$ - El vector director de $r$: $\vec{v}_r = (1, 1, 2)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para la recta $s$, expresada como intersección de dos planos, necesitamos encontrar un punto $P_s$ y su vector director $\vec{v}_s$. Para hallar el vector director $\vec{v}_s$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales a los planos que la definen, $\vec{n}_1 = (1, -1, 0)$ y $\vec{n}_2 = (2, 0, -1)$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_s = \vec{i}((-1) \cdot (-1) - 0 \cdot 0) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1))$$ $$\vec{v}_s = \vec{i}(1) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(2) = (1, 1, 2)$$ Para el punto $P_s$, asignamos un valor a una de las coordenadas en el sistema de $s$, por ejemplo $x = 0$: $$\begin{cases} 0 - y + 3 = 0 \implies y = 3 \\ 2(0) - z + 3 = 0 \implies z = 3 \end{cases}$$ Así, un punto de $s$ es $P_s(0, 3, 3)$. $$\boxed{\vec{v}_s = (1, 1, 2), \quad P_s(0, 3, 3)}$$

Comparamos los vectores directores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$: $$\vec{v}_r = (1, 1, 2) \quad \text{y} \quad \vec{v}_s = (1, 1, 2)$$ Como los vectores son proporcionales (en este caso iguales), las rectas son **paralelas o coincidentes**. Para distinguir ambos casos, comprobamos si el punto $P_r(0, -1, 2)$ pertenece a la recta $s$ sustituyendo en sus ecuaciones implícitas: $$\begin{cases} 0 - (-1) + 3 = 4 \neq 0 \\ 2(0) - 2 + 3 = 1 \neq 0 \end{cases}$$ Como el punto no satisface las ecuaciones, $P_r \notin s$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas}}$$

**b) Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y $s$. (1 punto)** Como las rectas son paralelas, el plano $\pi$ que las contiene está determinado por: 1. Un punto de una de las rectas, por ejemplo $P_r(0, -1, 2)$. 2. El vector director de las rectas, $\vec{v}_r = (1, 1, 2)$. 3. Un segundo vector director formado por los puntos de ambas rectas: $\vec{P_r P_s}$. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (0 - 0, 3 - (-1), 3 - 2) = (0, 4, 1)$$ 💡 **Tip:** Si las rectas fueran secantes, usaríamos los dos vectores directores de las rectas. Al ser paralelas, uno de los vectores debe unir un punto de cada recta para asegurar que los vectores no sean proporcionales.

La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los vectores directores hallados: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - (-1) & z - 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$\begin{vmatrix} x & y + 1 & z - 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante (por ejemplo, por la primera fila): $$x \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} - (y + 1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + (z - 2) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 0$$ $$x(1 - 8) - (y + 1)(1 - 0) + (z - 2)(4 - 0) = 0$$ $$-7x - (y + 1) + 4(z - 2) = 0$$ $$-7x - y - 1 + 4z - 8 = 0$$ $$-7x - y + 4z - 9 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más usual: ✅ **Resultado:** $$\boxed{7x + y - 4z + 9 = 0}$$