Ecuación matricial con matriz inversa

**Dadas las matrices $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$ y $N = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, hallar la matriz $P$ que verifica que $M^{-1}PM = N$.** Para resolver la ecuación matricial $M^{-1}PM = N$, debemos aislar la matriz $P$ aplicando las propiedades de la matriz inversa. 1. Multiplicamos por la izquierda por $M$ en ambos miembros: $$M(M^{-1}PM) = MN$$ $$(MM^{-1})PM = MN$$ $$I \cdot PM = MN \implies PM = MN$$ 2. Multiplicamos por la derecha por $M^{-1}$ en ambos miembros: $$(PM)M^{-1} = (MN)M^{-1}$$ $$P(MM^{-1}) = MNM^{-1}$$ $$P \cdot I = MNM^{-1} \implies P = MNM^{-1}$$ Por tanto, la matriz buscada es **$P = MNM^{-1}$**. 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo ($AB \neq BA$), por lo que es fundamental multiplicar por el mismo lado en ambos miembros de la igualdad.

Para calcular $M^{-1}$, utilizaremos la fórmula $M^{-1} = \frac{1}{|M|} \text{Adj}(M)^T$. Primero, calculamos el determinante de $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1) - (1 \cdot (-1)) = 0 + 1 = 1.$$ Como $|M| \neq 0$, la matriz $M$ es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos (cofactores): - $A_{11} = (-1)^{1+1}(1) = 1$ - $A_{12} = (-1)^{1+2}(-1) = 1$ - $A_{21} = (-1)^{2+1}(1) = -1$ - $A_{22} = (-1)^{2+2}(0) = 0$ $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, trasponemos la matriz de adjuntos y dividimos por el determinante: $$M^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado intermedio:** $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}}$$

Calculamos ahora el producto de las matrices $M$ y $N$: $$MN = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0) = 0$ y $(0 \cdot 0 + 1 \cdot 2) = 2$ - Fila 2: $((-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 0) = 1$ y $((-1) \cdot 0 + 1 \cdot 2) = 2$ $$MN = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Para obtener $P$, multiplicamos el resultado anterior por $M^{-1}$: $$P = (MN)M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto fila por columna: - Elemento $p_{11} = 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 2$ - Elemento $p_{12} = 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 = 0$ - Elemento $p_{21} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 3$ - Elemento $p_{22} = 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 = -1$ 💡 **Tip:** Puedes comprobar el resultado verificando si $M^{-1}PM$ da como resultado la matriz $N$ original. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}}$$