Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el sistema de ecuaciones lineales siguiente:** $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - \lambda y = 1 \\ 2x + \lambda z = 1 \end{cases}$$ Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 2 & 0 & \lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -\lambda & 0 & 1 \\ 2 & 0 & \lambda & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ para ver para qué valores de $\lambda$ el rango de $A$ es máximo (3). 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos permite determinar la compatibilidad de un sistema comparando los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

Aplicamos la regla de Sarrus para calcular $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -\lambda & 0 \\ 2 & 0 & \lambda \end{vmatrix} = (1 \cdot (-\lambda) \cdot \lambda) + (1 \cdot 0 \cdot 2) + (1 \cdot 1 \cdot 0) - (2 \cdot (-\lambda) \cdot 1) - (0 \cdot 0 \cdot 1) - (\lambda \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = -\lambda^2 + 0 + 0 - (-2\lambda) - 0 - \lambda = -\lambda^2 + 2\lambda - \lambda = -\lambda^2 + \lambda$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-\lambda^2 + \lambda = 0 \implies \lambda(-\lambda + 1) = 0$$ Las soluciones son **$\lambda = 0$** y **$\lambda = 1$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante de la matriz de coeficientes de un sistema $n \times n$ es distinto de cero, el rango es $n$ y el sistema es compatible determinado.

Analizamos los casos posibles según el valor de $\lambda$: **Caso 1: $\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 1$** Si $\lambda$ no es $0$ ni $1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que $\text{rang}(A) = 3$. Como el número de incógnitas es $3$ y la matriz ampliada no puede tener un rango superior a $3$, tenemos: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3 = n^o \text{ incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 2: $\lambda = 0$** Si $\lambda = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ Sabemos que $\text{rang}(A) < 3$ porque $|A|=0$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo en $A$: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, luego $\text{rang}(A) = 2$. Ahora calculamos el rango de $A^*$ usando el menor formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 \text{ (dos columnas iguales)}$. Probamos con las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (0+2+0) - (0+0+1) = 1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden $3$ no nulo en $A^*$, $\text{rang}(A^*) = 3$. Al ser $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)**. **Caso 3: $\lambda = 1$** Si $\lambda = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ En $A$, el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$, por lo que $\text{rang}(A) = 2$. Observamos las filas de $A^*$: $F_3 = F_1 + F_2$. Al ser la tercera fila combinación lineal de las otras dos, el rango de $A^*$ no puede ser $3$. Por tanto, $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3$. Según el Teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}: \text{SCD} \\ \lambda = 0: \text{SI} \\ \lambda = 1: \text{SCI} \end{cases}}$$

**b) Resolverlo para $\lambda=1$. (0,8 puntos)** Como hemos visto en el apartado anterior, para $\lambda = 1$ el sistema es compatible indeterminado y la tercera ecuación es redundante ($F_3 = F_1 + F_2$): $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y = 1 \end{cases}$$ Para resolverlo, utilizaremos un parámetro. Sea **$y = t$**, donde $t \in \mathbb{R}$. De la segunda ecuación despejamos $x$: $$x - t = 1 \implies x = 1 + t$$ Sustituimos $x$ e $y$ en la primera ecuación para hallar $z$: $$(1 + t) + t + z = 0 \implies 1 + 2t + z = 0 \implies z = -1 - 2t$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, las soluciones dependen de $3-2=1$ parámetro. ✅ **Resultado (Solución para $\lambda=1$):** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = -1 - 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}}$$