Probabilidad total y Teorema de Bayes en partidas de ajedrez

Para resolver este ejercicio de probabilidad, primero definiremos los sucesos involucrados y organizaremos la información en un árbol de probabilidad. Sean los sucesos: - $B$: El jugador juega con piezas blancas. - $N$: El jugador juega con piezas negras. - $G$: El jugador gana la partida. - $\bar{G}$: El jugador no gana (pierde o empata). Del enunciado extraemos las siguientes probabilidades: - $P(B) = 0.5$ (la mitad de las partidas). - $P(N) = 0.5$ (la otra mitad). - $P(G|B) = 0.40$ (probabilidad de ganar habiendo jugado con blancas). - $P(G|N) = 0.30$ (probabilidad de ganar habiendo jugado con negras). Representamos esta información en un **árbol de probabilidad**:

**1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que gane una partida concreta si no sabemos con qué piezas jugará.** Para calcular la probabilidad de ganar sin conocer el color de las piezas, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este teorema nos dice que la probabilidad de un suceso $G$ es la suma de las probabilidades de las intersecciones con una partición del espacio muestral (en este caso, jugar con blancas o negras). La fórmula es: $$P(G) = P(B) \cdot P(G|B) + P(N) \cdot P(G|N)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(G) = (0.5 \cdot 0.40) + (0.5 \cdot 0.30)$$ $$P(G) = 0.20 + 0.15 = 0.35$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(G) = 0.35}$$ (El jugador tiene una probabilidad del 35% de ganar la partida).

**2) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que haya jugado con blancas una partida concreta, sabiendo que ha ganado.** En este apartado nos piden una probabilidad condicionada "a posteriori", es decir, sabiendo que el resultado final fue ganar ($G$), queremos saber la probabilidad de que el suceso previo fuera jugar con blancas ($B$). Para ello utilizamos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(B|G) = \frac{P(B \cap G)}{P(G)} = \frac{P(B) \cdot P(G|B)}{P(G)}$$ Ya conocemos todos los valores del apartado anterior: - $P(B) \cdot P(G|B) = 0.20$ - $P(G) = 0.35$ Calculamos: $$P(B|G) = \frac{0.20}{0.35}$$ Simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador entre $0.05$ (o multiplicando por 100 y simplificando): $$P(B|G) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7} \approx 0.5714$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una "causa" dado un "efecto". Aquí el efecto es haber ganado y la causa es haber jugado con blancas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B|G) = \frac{4}{7} \approx 0.5714}$$ (Existe una probabilidad del 57.14% de que la partida ganada se jugara con piezas blancas).