Geometría en el espacio: Rectas y Planos

**1) [0.5 PUNTOS] Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.** Para definir una recta $r$ necesitamos un punto y un vector director. Utilizaremos el punto $A(1, 2, 1)$ y como vector director $\vec{v_r}$ el vector que une $A$ con $B$: $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (2-1, 3-2, 3-1) = (1, 1, 2)$$ Con el punto $A(1, 2, 1)$ y el vector $\vec{v_r}(1, 1, 2)$, la ecuación continua de la recta es: $$r: \frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Sustituyendo los valores: $$r: \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para hallar el vector entre dos puntos, restamos las coordenadas del extremo menos las del origen: $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{2}}$$

**2) [0.25 PUNTOS] Halla el vector normal del plano $\Pi$.** Un plano expresado en su forma general o implícita $Ax + By + Cz + D = 0$ tiene como vector normal $\vec{n} = (A, B, C)$, el cual es perpendicular a la superficie del plano. Dada la ecuación del plano: $$\Pi = 2x + 3y - 4z = 10$$ $$\Pi = 2x + 3y - 4z - 10 = 0$$ Identificamos los coeficientes de las variables: - $A = 2$ - $B = 3$ - $C = -4$ 💡 **Tip:** El vector normal es fundamental para estudiar posiciones relativas y distancias, ya que marca la "dirección" u orientación del plano en el espacio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{n}_{\Pi} = (2, 3, -4)}$$

**3) [0.75 PUNTOS] Determina la posición relativa del plano $\Pi$, y la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$.** Para determinar la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\Pi$, estudiamos el producto escalar entre el vector director de la recta $\vec{v_r} = (1, 1, 2)$ y el vector normal del plano $\vec{n}_{\Pi} = (2, 3, -4)$: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n}_{\Pi} = (1)(2) + (1)(3) + (2)(-4)$$ $$\vec{v_r} \cdot \vec{n}_{\Pi} = 2 + 3 - 8 = -3$$ Como $\vec{v_r} \cdot \vec{n}_{\Pi} \neq 0$, los vectores no son perpendiculares. Esto implica que la recta no es paralela al plano ni está contenida en él. Por lo tanto, la recta y el plano son **secantes** (se cortan en un único punto). 💡 **Tip:** - Si $\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$, la recta es paralela al plano o está contenida en él. - Si $\vec{v} \cdot \vec{n} \neq 0$, la recta corta al plano en un punto (secantes). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \Pi \text{ son secantes}}$$

**4) [1 PUNTO] Halla la ecuación del plano paralelo a $\Pi$ que contiene al punto $A$.** Dos planos son paralelos si tienen el mismo vector normal. Por tanto, el plano $\Pi'$ que buscamos tendrá la forma: $$2x + 3y - 4z + D = 0$$ Como el plano debe contener al punto $A(1, 2, 1)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar el valor de $D$: $$2(1) + 3(2) - 4(1) + D = 0$$ $$2 + 6 - 4 + D = 0$$ $$4 + D = 0 \implies D = -4$$ La ecuación del plano es $2x + 3y - 4z - 4 = 0$, o de forma equivalente: $$2x + 3y - 4z = 4$$ 💡 **Tip:** Todos los planos paralelos entre sí tienen los mismos coeficientes $A, B, C$ en su ecuación general, variando únicamente el término independiente $D$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\Pi': 2x + 3y - 4z = 4}$$