Estudio de una función de infección epidémica

**1) [0.75 PUNTOS] Calcula el valor de $k$ para que $I(t)$ sea continua.** Para que la función sea continua en todo su dominio, debemos asegurar la continuidad en el punto donde cambia la definición de la rama, es decir, en $t = 1$. Una función es continua en $t = a$ si se cumple que: $$\lim_{t \to a^-} I(t) = \lim_{t \to a^+} I(t) = I(a)$$ Calculamos el límite por la izquierda (rama $t \lt 1$): $$\lim_{t \to 1^-} I(t) = \lim_{t \to 1^-} ke^{2t} = ke^{2(1)} = ke^2$$ Calculamos el límite por la derecha y el valor de la función (rama $t \ge 1$): $$\lim_{t \to 1^+} I(t) = I(1) = \frac{1^2}{3(1)^2 + 1} = \frac{1}{3+1} = \frac{1}{4}$$ Igualamos ambos resultados para que no exista salto entre ramas: $$ke^2 = \frac{1}{4} \implies k = \frac{1}{4e^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua, los límites laterales deben ser iguales y coincidir con el valor de la función en el punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = \frac{1}{4e^2} \approx 0.0338}$$

**2) [0.75 PUNTOS] Calcula la proporción de personas infectadas cuando $t \to \infty$.** Para calcular la proporción a largo plazo, evaluamos el límite de la función cuando el tiempo tiende a infinito. Como $t \to \infty$ implica $t \ge 1$, utilizamos la segunda rama de la función: $$\lim_{t \to \infty} I(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{3t^2 + 1}$$ Este es un límite de una función racional donde el grado del numerador y del denominador es el mismo (grado 2). Podemos resolverlo dividiendo por la máxima potencia de $t$ o simplemente observando los coeficientes principales: $$\lim_{t \to \infty} \frac{t^2}{3t^2 + 1} = \lim_{t \to \infty} \frac{\frac{t^2}{t^2}}{\frac{3t^2}{t^2} + \frac{1}{t^2}} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{t^2}} = \frac{1}{3+0} = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** Cuando $x \to \infty$, en funciones racionales de igual grado, el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La proporción tiende a } \frac{1}{3} \approx 0.3333}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Calcula la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante $t = \frac{1}{2}$.** La "velocidad de crecimiento" es la derivada de la función, $I'(t)$. Como $t = \frac{1}{2} \lt 1$, usamos la primera rama: $I(t) = ke^{2t}$. Primero, hallamos la derivada genérica de esta rama: $$I'(t) = \frac{d}{dt}(ke^{2t}) = k \cdot e^{2t} \cdot 2 = 2ke^{2t}$$ Sustituimos el valor de $k = \frac{1}{4e^2}$ hallado en el primer apartado: $$I'(t) = 2 \left(\frac{1}{4e^2}\right) e^{2t} = \frac{1}{2e^2} e^{2t}$$ Ahora evaluamos en $t = \frac{1}{2}$: $$I'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2e^2} e^{2(1/2)} = \frac{1}{2e^2} e^1 = \frac{e}{2e^2} = \frac{1}{2e}$$ 💡 **Tip:** La derivada de $e^{u(x)}$ es $u'(x)e^{u(x)}$. Aquí $u(t)=2t$, por lo que su derivada es $2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I'\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2e} \approx 0.1839}$$

**4) [0.5 PUNTOS] Calcula la velocidad de crecimiento de $I(t)$ para el instante $t = 2$.** Como $t = 2 \ge 1$, usamos la segunda rama: $I(t) = \frac{t^2}{3t^2 + 1}$. Aplicamos la regla del cociente para derivar: $$I'(t) = \frac{(t^2)'(3t^2+1) - (t^2)(3t^2+1)'}{(3t^2+1)^2}$$ $$I'(t) = \frac{2t(3t^2+1) - t^2(6t)}{(3t^2+1)^2} = \frac{6t^3 + 2t - 6t^3}{(3t^2+1)^2} = \frac{2t}{(3t^2+1)^2}$$ Evaluamos en $t = 2$: $$I'(2) = \frac{2(2)}{(3(2)^2 + 1)^2} = \frac{4}{(3 \cdot 4 + 1)^2} = \frac{4}{(13)^2} = \frac{4}{169}$$ 💡 **Tip:** Regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I'(2) = \frac{4}{169} \approx 0.0237}$$