Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**1) [1 PUNTO] Determina para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvelo en ese caso.** Para discutir el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} \lambda & -1 \\ 4 & -\lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{cc|c} \lambda & -1 & 1 \\ 4 & -\lambda & 2\lambda - 2 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ para ver cuándo el rango de $A$ es máximo: $$|A| = \begin{vmatrix} \lambda & -1 \\ 4 & -\lambda \end{vmatrix} = -\lambda^2 - (-4) = 4 - \lambda^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$4 - \lambda^2 = 0 \implies \lambda^2 = 4 \implies \lambda = \pm 2$$ 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Frobenius nos indica que si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) < n$ (siendo $n$ el número de incógnitas), el sistema tiene infinitas soluciones.

Analizamos el caso $\lambda = 2$: La matriz ampliada queda: $$A^* = \left(\begin{array}{cc|c} 2 & -1 & 1 \\ 4 & -2 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la segunda fila es el doble de la primera ($F_2 = 2F_1$). Por tanto: - $\text{rg}(A) = 1$ - $\text{rg}(A^*) = 1$ Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 1 \lt 2$ (número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Infinitas soluciones si } \lambda = 2}$$

Para resolver el sistema cuando $\lambda = 2$, nos quedamos con la única ecuación independiente: $$2x - y = 1$$ Expresamos una incógnita en función de la otra (usando un parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$): Si hacemos $x = \alpha$, entonces: $$2\alpha - y = 1 \implies y = 2\alpha - 1$$ ✅ **Solución en este caso:** $$\boxed{\begin{cases} x = \alpha \\ y = 2\alpha - 1 \end{cases} \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$

**2) [1 PUNTO] Determina para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene solución única y resuélvelo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $\lambda$ si es necesario.** Si $\lambda \neq 2$ y $\lambda \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. En este caso, $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) = 2$. Como el rango coincide con el número de incógnitas, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Solución única si } \lambda \neq 2 \text{ y } \lambda \neq -2}$$

Utilizamos la **Regla de Cramer** para resolver en función de $\lambda$: Para $x$: $$x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2\lambda-2 & -\lambda \end{vmatrix}}{4 - \lambda^2} = \frac{-\lambda - (-(2\lambda-2))}{4 - \lambda^2} = \frac{-\lambda + 2\lambda - 2}{4 - \lambda^2} = \frac{\lambda - 2}{(2-\lambda)(2+\lambda)}$$ Simplificamos teniendo en cuenta que $\lambda-2 = -(2-\lambda)$: $$x = \frac{-(2-\lambda)}{(2-\lambda)(2+\lambda)} = -\frac{1}{\lambda + 2}$$ Para $y$: $$y = \frac{\begin{vmatrix} \lambda & 1 \\ 4 & 2\lambda-2 \end{vmatrix}}{4 - \lambda^2} = \frac{\lambda(2\lambda-2) - 4}{4 - \lambda^2} = \frac{2\lambda^2 - 2\lambda - 4}{4 - \lambda^2} = \frac{2(\lambda^2 - \lambda - 2)}{4 - \lambda^2}$$ Factorizamos el numerador $(\lambda-2)(\lambda+1)$: $$y = \frac{2(\lambda-2)(\lambda+1)}{(2-\lambda)(2+\lambda)} = \frac{-2(2-\lambda)(\lambda+1)}{(2-\lambda)(2+\lambda)} = -\frac{2(\lambda+1)}{\lambda+2}$$ 💡 **Tip:** Al aplicar Cramer, $|A|$ va siempre en el denominador. Recuerda simplificar factores comunes para llegar a la solución más elegante. ✅ **Solución general:** $$\boxed{x = -\frac{1}{\lambda+2}, \quad y = -\frac{2\lambda+2}{\lambda+2}}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Determina para qué valores de $\lambda$ el sistema no tiene solución.** Analizamos el caso restante, $\lambda = -2$: La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{cc|c} -2 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & -6 \end{array}\right)$$ Calculamos el rango de $A$: Como $|A|=0$ y existe al menos un elemento no nulo, $\text{rg}(A) = 1$. Calculamos el rango de $A^*$ tomando un menor de orden 2 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -6 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4 \neq 0$$ Esto implica que $\text{rg}(A^*) = 2$. Como $\text{rg}(A) = 1 \neq \text{rg}(A^*) = 2$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No tiene solución si } \lambda = -2}$$