Distribución normal de la testosterona

**1) [1.25 PUNTOS] Calcula la probabilidad de que un ciclista presente más de 1000 ng/dl de testosterona en sangre sin haberse dopado.** Primero, definimos la variable aleatoria $X$ que representa la concentración de testosterona en sangre (en ng/dl) de un hombre adulto no dopado. Según el enunciado, la variable sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(600, 200)$$ Donde: - Media $\mu = 600$ ng/dl - Desviación típica $\sigma = 200$ ng/dl Queremos calcular la probabilidad de que $X$ sea mayor que $1000$: $$P(X \gt 1000)$$ 💡 **Tip:** Identificar correctamente la media ($\mu$) y la desviación típica ($\sigma$) es el primer paso esencial en cualquier problema de distribución normal.

Para calcular probabilidades en una normal cualquiera, debemos transformarla en una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante el proceso de **tipificación**. La fórmula de tipificación es: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Sustituimos los valores de nuestro caso: $$P(X \gt 1000) = P\left(Z \gt \frac{1000 - 600}{200}\right)$$ $$P(X \gt 1000) = P\left(Z \gt \frac{400}{200}\right) = P(Z \gt 2)$$ 💡 **Tip:** Tipificar nos permite utilizar las tablas de la normal estándar $N(0,1)$ que se proporcionan en los exámenes.

Como las tablas de la normal estándar suelen ofrecer la probabilidad acumulada hasta un valor, $P(Z \le z)$, transformamos nuestra expresión usando el suceso contrario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos en la tabla el valor para $z = 2.00$: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ Calculamos el resultado final: $$P(X \gt 1000) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ La probabilidad de que un ciclista no dopado supere los 1000 ng/dl es de $0.0228$ (un $2.28\%$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 1000) = 0.0228}$$

**2) [1.25 PUNTOS] ¿Qué nivel de testosterona elegirías como límite en un control antidopaje, para que la probabilidad de acusar a un inocente sea de 1 entre 1000?** Acusar a un inocente significa que un hombre no dopado (que sigue la distribución $X \sim N(600, 200)$) supere el valor límite $k$ que establezcamos. La condición es que esa probabilidad sea $1/1000$: $$P(X \gt k) = \frac{1}{1000} = 0.001$$ Tipificamos la variable para poder buscar en la tabla: $$P\left(Z \gt \frac{k - 600}{200}\right) = 0.001$$ Llamamos $z_0 = \frac{k - 600}{200}$ al valor crítico en la normal estándar. 💡 **Tip:** En este apartado estamos haciendo el proceso inverso: conocemos la probabilidad y buscamos el valor de la variable.

Para buscar en la tabla, pasamos al suceso menor o igual: $$1 - P(Z \le z_0) = 0.001 \implies P(Z \le z_0) = 1 - 0.001 = 0.999$$ Buscamos en el interior de la tabla de la $N(0,1)$ el valor de probabilidad más cercano a $0.999$. Observamos que: - Para $z = 3.09$, la probabilidad es $0.9990$. - (Si se busca más precisión, el valor es aproximadamente $3.0902$). Tomamos $z_0 = 3.09$. Ahora despejamos $k$ de la fórmula de tipificación: $$\frac{k - 600}{200} = 3.09$$ $$k - 600 = 3.09 \cdot 200$$ $$k - 600 = 618$$ $$k = 600 + 618 = 1218 \text{ ng/dl}$$ El nivel límite debe ser de $1218$ ng/dl para que solo haya una probabilidad de $0.001$ de dar un falso positivo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = 1218 \text{ ng/dl}}$$