Geometría de la trayectoria de un misil

**1) [0.5 PUNTOS] Calcula la ecuación de la recta que contiene la trayectoria del misil.** Para definir una recta en el espacio necesitamos un punto por el que pase y un vector director. En este caso, el misil pasa por los puntos $A(1, 2, 8)$ y $B(3, 4, 0)$. Primero, calculamos el vector director $\vec{v}$ como el vector que une $A$ y $B$: $$\vec{v} = \overrightarrow{AB} = B - A = (3-1, 4-2, 0-8) = (2, 2, -8)$$ Podemos usar este vector o uno proporcional más sencillo dividiendo por 2: $\vec{u} = (1, 1, -4)$. Utilizaremos el punto $A(1, 2, 8)$ para escribir la ecuación paramétrica de la recta $r$: $$ \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 8 - 4\lambda \end{cases} $$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación paramétrica de una recta que pasa por $P(x_0, y_0, z_0)$ con vector $\vec{v}(v_1, v_2, v_3)$ es $x=x_0+v_1\lambda, y=y_0+v_2\lambda, z=z_0+v_3\lambda$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = 8 - 4\lambda \end{cases}}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Calcula el punto en el que el misil cruza el plano $z = 4$.** Para hallar el punto de intersección, sustituimos la coordenada $z$ de la recta en la ecuación del plano $z = 4$: $$8 - 4\lambda = 4$$ Resolvemos la ecuación para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$-4\lambda = 4 - 8 \implies -4\lambda = -4 \implies \lambda = 1$$ Ahora sustituimos $\lambda = 1$ en las coordenadas de la recta para obtener el punto $P$: $$x = 1 + (1) = 2$$ $$y = 2 + (1) = 3$$ $$z = 8 - 4(1) = 4$$ El misil cruza el plano en el punto $P(2, 3, 4)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(2, 3, 4)}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Calcula la distancia que recorre el misil desde que se lanza hasta que impacta en $B$.** La distancia recorrida es el módulo del vector $\overrightarrow{AB}$, que representa la separación entre el punto de lanzamiento $A$ y el punto de impacto $B$. Calculamos el vector $\overrightarrow{AB}$ (que ya hallamos en el apartado 1): $$\overrightarrow{AB} = (2, 2, -8)$$ Aplicamos la fórmula del módulo de un vector: $$d(A, B) = |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-8)^2}$$ $$d(A, B) = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72}$$ Podemos simplificar la raíz extrayendo factores: $$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \text{ unidades de longitud}$$ 💡 **Tip:** La distancia entre dos puntos $A$ y $B$ coincide con la norma del vector que los une. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(A, B) = 6\sqrt{2} \approx 8.485}$$

**4) [1 PUNTO] Calcula un vector perpendicular a los vectores $\overrightarrow{OB}$ y $\overrightarrow{AB}$.** Un vector perpendicular a otros dos se obtiene mediante el **producto vectorial**. Primero definimos los vectores involucrados: - $O$ es el origen $(0, 0, 0)$, por lo que $\overrightarrow{OB} = B - O = (3, 4, 0)$. - Del apartado 1, sabemos que $\overrightarrow{AB} = (2, 2, -8)$. Calculamos el producto vectorial $\vec{w} = \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{AB}$ mediante el determinante: $$\vec{w} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & -8 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por los adjuntos de la primera fila: $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 2 & -8 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i}(-32 - 0) - \vec{j}(-24 - 0) + \vec{k}(6 - 8)$$ $$\vec{w} = -32\vec{i} + 24\vec{j} - 2\vec{k}$$ El vector buscado es $(-32, 24, -2)$. Cualquier vector proporcional a este (como $(-16, 12, -1)$) también es perpendicular. 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ siempre devuelve un vector ortogonal a ambos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{w} = (-32, 24, -2)}$$