Estudio de la parábola: tangente, primitiva y cálculo de áreas

**1) [0.5 PUNTOS] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$. Llamaremos a dicha recta $g(x)$.** Para hallar la recta tangente en $x=1$ necesitamos la ordenada $f(1)$ y la pendiente $f'(1)$. 1. Calculamos la ordenada del punto: $$f(1) = 1^2 = 1 \implies \text{Punto } (1, 1)$$ 2. Calculamos la derivada de la función: $$f(x) = x^2 \implies f'(x) = 2x$$ 3. Calculamos la pendiente de la tangente ($m$): $$m = f'(1) = 2(1) = 2$$ 4. Aplicamos la ecuación punto-pendiente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - 1 = 2(x - 1)$$ $$y - 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 1$$ Por tanto, la recta buscada es: $$\boxed{g(x) = 2x - 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la recta tangente a una función en un punto $x=a$ es siempre una recta que pasa por $(a, f(a))$ con pendiente $f'(a)$.

**2) [0.5 PUNTOS] Calcula el área de la región limitada por las rectas $g(x), x = \frac{1}{2}, x = 1, y$ el eje $OX$ de abscisas.** La región es un trapecio (o un triángulo en este caso particular) delimitado por $g(x) = 2x-1$ entre $x=1/2$ y $x=1$. Comprobamos el signo de la función en ese intervalo: - En $x = 1/2$, $g(1/2) = 2(1/2) - 1 = 0$. - En $x = 1$, $g(1) = 2(1) - 1 = 1$. Como la función es positiva o nula en el intervalo $[1/2, 1]$, el área es la integral definida: $$A_1 = \int_{1/2}^{1} (2x - 1) \, dx$$ Calculamos la integral aplicando la Regla de Barrow: $$A_1 = \left[ x^2 - x \right]_{1/2}^{1} = (1^2 - 1) - \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} \right)$$ $$A_1 = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \right) = - \left( -\frac{1}{4} \right) = \frac{1}{4}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{1}{4} \text{ u}^2 = 0.25 \text{ u}^2}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Halla una primitiva $F(x)$ de la función $f(x)$.** Una primitiva $F(x)$ es cualquier función tal que $F'(x) = f(x)$. Para hallarla, calculamos la integral indefinida de $f(x) = x^2$: $$F(x) = \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$$ Como el enunciado pide "una" primitiva, podemos elegir cualquier valor para la constante $C$. Por simplicidad, tomamos $C = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{F(x) = \frac{x^3}{3}}$$ 💡 **Tip:** No olvides que la primitiva de una potencia $x^n$ es $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ siempre que $n \neq -1$.

**4) [1 PUNTO] Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $f(x)$, y las rectas $g(x), x = \frac{1}{2}$.** Primero, identificamos los límites de integración. Ya tenemos $x = 1/2$. Buscamos el punto de corte entre $f(x) = x^2$ y $g(x) = 2x-1$: $$x^2 = 2x - 1 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0 \implies x = 1$$ El área se encuentra entre $x=1/2$ y $x=1$. En este intervalo, $f(x) \ge g(x)$ (ya que la parábola es tangente a la recta por arriba en $x=1$). $$A_2 = \int_{1/2}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{1/2}^{1} (x^2 - (2x - 1)) \, dx = \int_{1/2}^{1} (x^2 - 2x + 1) \, dx$$ Usamos la primitiva hallada y aplicamos Barrow: $$A_2 = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{1/2}^{1}$$ Evaluamos en los límites: - Para $x = 1$: $\frac{1}{3} - 1 + 1 = \frac{1}{3}$ - Para $x = 1/2$: $\frac{(1/2)^3}{3} - (1/2)^2 + \frac{1}{2} = \frac{1/8}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{24} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1 - 6 + 12}{24} = \frac{7}{24}$ Restamos los valores: $$A_2 = \frac{1}{3} - \frac{7}{24} = \frac{8}{24} - \frac{7}{24} = \frac{1}{24}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{1}{24} \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=x^2", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=2x-1", "color": "#ef4444" }, { "id": "reg1", "latex": "0 \\le y \\le 2x-1 \\left\\{ 0.5 \\le x \\le 1 \\right\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "2x-1 \\le y \\le x^2 \\left\\{ 0.5 \\le x \\le 1 \\right\\}", "color": "#16a34a" } ], "bounds": { "left": -0.5, "right": 2, "bottom": -0.5, "top": 2.5 } } }