Matrices de rotación y sus propiedades

**1) [0.5 PUNTOS] Comprueba para $\theta = \frac{\pi}{2}$ que $R(\theta) \cdot v$ rota el vector $v$ un ángulo $\theta$ en sentido antihorario.** Primero, calculamos los valores de la matriz $R( heta)$ para $\theta = \frac{\pi}{2}$: $$\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$ Sustituimos en la matriz $R(\theta)$: $$R\left(\frac{\pi}{2}\right) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos la matriz por el vector $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$: $$R\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot v = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 1 + (-1)\cdot 0 \\ 1\cdot 1 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$ El vector inicial $v = (1, 0)$ está sobre el eje $X$ positivo. El vector resultante $(0, 1)$ está sobre el eje $Y$ positivo. Gráficamente, esto corresponde a una rotación de $90^\circ$ (o $\pi/2$ radianes) en **sentido antihorario**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{R\left(\frac{\pi}{2}\right)v = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}}$$

**2) [0.5 PUNTOS] Comprueba para $\theta = \frac{\pi}{2}$ que $R^2(\theta) \cdot v$ rota el vector $v$ un ángulo $2\theta$ en sentido antihorario.** Calculamos $R^2\left(\frac{\pi}{2}\right)$ multiplicando la matriz por sí misma: $$R^2\left(\frac{\pi}{2}\right) = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0-1 & 0+0 \\ 0+0 & -1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos por $v$: $$R^2\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot v = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Como $2\theta = 2\left(\frac{\pi}{2}\right) = \pi$, una rotación de $\pi$ radianes partiendo de $(1, 0)$ nos lleva al punto $(-1, 0)$. Esto confirma que aplicar la matriz al cuadrado equivale a rotar el doble del ángulo. 💡 **Tip:** Aplicar una matriz de rotación $n$ veces es equivalente a rotar un ángulo $n\theta$, es decir, $R^n(\theta) = R(n\theta)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{R^2\left(\frac{\pi}{2}\right)v = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix}}$$

**3) [0.5 PUNTOS] Comprueba que la matriz $R(\theta)$ es invertible para cualquier valor de $\theta$.** Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $R(\theta)$: $$|R(\theta)| = \begin{vmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{vmatrix} = (\cos(\theta))(\cos(\theta)) - (\sin(\theta))(-\sin(\theta))$$ $$|R(\theta)| = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)$$ Por la identidad fundamental de la trigonometría, sabemos que $\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1$ para cualquier valor de $\theta$. Como $|R(\theta)| = 1 \neq 0$ para todo $\theta \in \mathbb{R}$, la matriz es **siempre invertible**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|R(\theta)| = 1 \implies R(\theta) \text{ es invertible } \forall \theta}$$

**4) [1 PUNTO] Calcula la matriz inversa de $R(\theta)$ y comprueba que $R^{-1}(\theta) = R(-\theta)$.** Para una matriz $2 \times 2$ de la forma $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. En nuestro caso, con $|R(\theta)| = 1$: $$R^{-1}(\theta) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -(-\sin(\theta)) \\ -(\sin(\theta)) & \cos(\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La inversa de una matriz de rotación deshace el giro, por lo que se espera que sea una rotación en sentido opuesto ($-\theta$). ✅ **Resultado (Inversa):** $$\boxed{R^{-1}(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos la matriz $R(-\theta)$ sustituyendo el ángulo por su opuesto en la definición original: $$R(-\theta) = \begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{pmatrix}$$ Utilizamos las propiedades de las funciones trigonométricas par e impar: 1. $\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ (Función par) 2. $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ (Función impar) Sustituyendo estas propiedades: $$R(-\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -(-\sin(\theta)) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$ Observamos que ambas expresiones coinciden exactamente: $$\boxed{R^{-1}(\theta) = R(-\theta)}$$